УДК 517.95:519.63
ВАРІАЦІЙНІ ПОСТАНОВКИ ТА ДИСКРЕТИЗАЦІЯ
КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ
ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ІЗ ЗАДАНИМИ НА ГРАНИЦІ ОБЛАСТІ НАПРУГАМИ
Анотація. Розглянуто рівняння пружної рівноваги тіл у переміщеннях із за-даними на поверхні тіла напругами.
Зазначена задача не має єдиного роз-в’язку на всьому просторі вектор-функцій, де він існує. В роботі запропо-новано і досліджено
дві варіаційні задачі для розглядуваної статичної задачі теорії пружності з єдиним розв’язком на всьому просторі.
Математичним апаратом дослідження слугує один із варіантів нерівності Корна, доведеної у статті. Розглянуто питання дискретизації цих варіаційних задач методом скінченних елементів і збіжності дискретних розв’язків.
Ключові слова: задача теорії пружності, варіаційні постановки, існування єдиного розв’язку у функціональних просторах, дискретні задачі, методи розв’язування дискретних задач.
ПОВНИЙ ТЕКСТ
Варенюк Наталія Анатоліївна,
кандидат фіз.-мат. наук, старший науковий співробітник Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ,
nvareniuk@ukr.net
Галба Євген Федорович,
доктор фіз.-мат. наук, старший науковий співробітник Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова
НАН України, Київ,
e.f.galba@ukr.net
Сергієнко Іван Васильович,
академік НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор, директор Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ,
incyb@incyb.kiev.ua
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
- Галба Е.Ф., Сергиенко И.В. Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами. Кибернетика и системный анализ. 2018. Т. 54, № 3. С. 65–93.
- Сергиенко И.В., Галба Е.Ф., Дейнека В.С. Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. 1. Положительно-определенные веса. Кибернетика и системный анализ. 2008. Т. 44, № 1. С. 47–73.
- Химич А.Н. Оценки возмущений для решения задач наименьших квадратов. Кибернетика и системный анализ. 1996. Т. 32, № 3. С. 142–145.
- Молчанов И.Н., Яковлев М.Ф. Итерационные процессы решения одного класса несовместных систем линейных алгебраических уравнений. Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1975. Т. 15, № 3. С. 547–558.
- Neumann M., Plemmons R.J. Convergent nonnegative matrices and iterative methods for consistent linear systems. Numer. Math. 1978. Vol.31, N 3. P. 265–279.
- Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные функционалы. Новосибирск: Наука, 1972. 205 с.
- Кузнецов Ю.А. Вычислительные методы в подпространствах. В сб.: Вычислительные процессы и системы. Вып. 2. Г.И. Марчук (Ред.). Москва: Наука, 1985. С. 265–350.
- Молчанов И.Н., Яковлев М.Ф. Об одном классе итерационных процессов решения несовместных систем линейных алгебраических уравнений. Докл. АН СССР. 1973. Т. 209, № 4. С. 782–784.
- Молчанов И.Н., Яковлев М.Ф. О двушаговых итерационных методах решения одного класса несовместных систем линейных алгебраических уравнений. Докл. АН СССР. 1974. Т. 214, № 6. С. 1265–1268.
- Keller H.B. On the solution of singular and semidefinite linear systems by iterations. SIAM J. Numer. Anal. 1965. N 2. P. 281290.
- Meyer C.D., Plemmons R.J. Convergent powers of a matrix with applications to iterative methods for singular linear systems. SIAM J. Numer. Anal. 1977. Vol. 14, N 4.P. 699–705.
- Douglas J., Pearcy C. On convergence of alternating direction procedures in the presence of singular operators. Numer. Math. 1963. N 5. P. 175–184.
- O’Carrol M.J. Inconsistencies and S.O.R. convergence for the discrete Neumann problem for a rectangle. J. Inst. Math. Appl. 1973. N 11. P. 343–350.
- Barret J.W., Elliott C.M. A practical finite element approximation of a semi-definite Neumann problem on a curved domain. Numer. Math. 1987. Vol. 51, N 1. P. 23–36.
- Shieh A.S.L. On convergence of the conjugate gradient methods for singular capacitance matrix equations from the Neumann problem of the Poisson equation. Numer. Math. 1977/78. Vol. 29, N 3. P. 307–327.
- Бахвалов Н.С., Богачев К.Ю., Мэтр Ж.Ф. Эффективный алгоритм решения жестких эллиптических задач с приложениями к методу фиктивных областей. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39, № 6. С. 919–931.
- Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. Киев: Наук. думка, 1979. 316 с.
- Дьяконов Е.Г. О решении систем уравнений проекционно-разностного метода для неотрицательных операторов. В сб.: Вычислительные методы линейной алгебры. Труды Всесоюзного совещания. Г.И. Марчук (ред.). Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1977. С. 51–60.
- Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Москва: Наука, 1978. 588 с.
- Кузнецов Ю.А. Матричные итерационные методы в подпространствах: Дис. … д-ра физ.-матем. Наук: ВЦ АН СССР. Москва, 1982. 197 с.
- Giese J.H. On the truncation error in a numerical solution of the Neumann problem for a rectangle. J. Math. Phys. 1958. Vol. 37, N 2. P. 169177.
- Волков Е.А. О методе сеток для краевой задачи с косой и нормальной производной. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т.1, № 4. С. 607–621.
- Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. О сходимости разностных схем для второй краевой задачи теории упругости. Докл. АН УССР. 1982.Сер. А, № 11. С. 11–14.
- Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Вариационные постановки второй краевой задачи теории упругости Докл. АН УССР. 1986. Сер. А, № 8. С. 17–20.
- Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. 207 с.
- Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд-во АН Арм. ССР, 1979. 335 с.
- Алиев Б. Разностная схема для решения второй краевой статической задачи теории упругости. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1970. Т. 10, № 6. С. 1481–1490.
- Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. Москва: Изд-во Московского ун-та, 1987. 217 с.
- Химич А.Н., Попов А.В., Полянко В.В. Алгоритмы параллельных вычислений для задач линейной алгебры с матрицами нерегулярной структуры. Кибернетика и системный анализ. 2011. Т. 47, № 6. С. 159–174.
- Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. Москва; Ленинград: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1952. 216 с.
- Friedrich K.O. On the boundary-value problems of the theory of elastisity and Korn’s inequality. Ann. Math. 1947. Vol. 48, N 2. P. 441–471.
- Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. Москва: Наука, 1980. 384 с.
- Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. Москва: Мир, 1974. 160 с.
- Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Москва: Мир, 1980. 512 с.
- Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Москва: Мир, 1977. 352 с.
- Molchanov I.N., Galba E.F. On finite element methods for the Neumann problem. Numer. Math. 1985. Vol. 46, N 4. Р. 587–598.
- Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. Москва: Мир, 1984. 333 с.
