Cybernetics And Systems Analysis logo
Інформація редакції Аннотації статей Автори Архів
Кібернетика та Системний Аналіз
Міжнародний Науково-Теоретичний Журнал
Том 57 >>> № 1 СІЧЕНЬ — ЛЮТИЙ 2021
-->

УДК 517.988
Я.І. Ведель, С.В. Денисов, В.В. Семенов

АДАПТИВНИЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ВАРІАЦІЙНОЇ НЕРІВНОСТІ
НА МНОЖИНІ РОЗВ’ЯЗКІВ ЗАДАЧІ ПРО РІВНОВАГУ

Анотація. Розглянуто дворівневі задачі: варіаційні нерівності на множині розв’язків задач про рівновагу. Прикладом таких задач є пошук нормальної рівноваги Неша. Для їх розв’язання запропоновано ітераційний алгоритм, що поєднує у собі ідеї двоетапного проксимального методу, адаптивності та ітеративної регуляризації. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, в запропонованому алгоритмі не проводиться обчислень значень біфункції в додаткових точках та не потрібно знання інформації про величину ліпшицевих констант біфункції, констант ліпшице-вості та сильної монотонності оператора. Для монотонних біфункцій ліпши-цевого типу та сильно монотонних ліпшицевих операторів доведено теоре-му про сильну збіжність алгоритму. Показано, що запропонований алгоритм можна застосувати до монотонних дворівневих варіаційних нерівностей в гільбертових просторах.

Ключові слова: дворівнева задача, варіаційна нерівність, задача про рівно-вагу, двоетапний проксимальний метод, адаптивність, ітеративна регуляри-зація, сильна збіжність.



ПОВНИЙ ТЕКСТ

Ведель Яна Игоревна,
аспирантка Киевского национального университета имени Тараса Шевченко,
 yana.vedel@gmail.com

Денисов Cергей Викторович,
ассистент кафедры Киевского национального университета имени Тараса Шевченко,
 sireukr@gmail.com

Семенов Владимир Викторович,
доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор кафедры Киевского национального университета имени Тараса Шевченко,  semenov.volodya@gmail.com


СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

  1. Bakushinskii A.B., Goncharskii A.V. Iterative methods for solving ill-posed problems. Moscow: Nauka, 1989. 126 p.

  2. Browder F. Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1966. Vol. 56, N 4. P. 1080–1086.

  3. Browder F. Convergence of approximants of fixed points of nonexpansive non-linear mappings in Banach spaces. Arch. Rational Mech. Anal. 1967. Vol. 24. P. 82–90.

  4. Attouch H. Viscosity solutions of minimization problems. SIAM J. Optim. 1996. Vol. 6. Iss. 3. P. 769–806. https://doi.org/10.1137/S1052623493259616.

  5. Подиновский В.В., Гаврилов В.Н. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. Москва: Сов. радио, 1975. 192 с.

  6. Kalashnikov V.V., Kalashnikova N.I. Solution of two-level variational inequality. Cybernetics and Systems Analysis. 1994. Vol. 30, N 4. P. 623–625. https://doi.org/10.1007/BF02366574.

  7. Коннов И.В. О системах вариационных неравенств. Изв. вузов. Матем. 1997. № 12. C. 79–88.

  8. Попов Л.Д. Лексикографические вариационные неравенства и некоторые приложения. Математическое программирование. Регуляризация и аппроксимация. Сб. статей. Тр. ИММ. 2002. T. 8, № 1. С. 103–115.

  9. Попов Л.Д. Об одноэтапном методе решения лексикографических вариационных неравенств. Изв. вузов. Матем. 1998. № 12. C. 71–81.

  10. Solodov M. An explicit descent method for bilevel convex optimization. Journal of Convex Analysis. 2007. Vol. 14. P. 227–238.

  11. Semenov V.V. On the parallel proximal decomposition method for solving the problems of convex optimization. Journal of Automation and Information Sciences. 2010. Vol. 42, N 4. P. 13–18. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v42.i4.20.

  12. Semenov V.V. A strongly convergent splitting method for systems of operator inclusions with monotone operators. Journal of Automation and Information Sciences. 2014. Vol. 46, N 5. P. 45–56. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v46.i5.40.

  13. Semenov V.V. Hybrid splitting methods for the system of operator inclusions with monotone operators. Cybernetics and Systems Analysis. 2014. Vol. 50, N 5. P. 741–749. https://doi.org/ 10.1007/s10559-014-9664-y.

  14. Verlan D.A., Semenov V.V., Chabak L.M. A strongly convergent modified extragradient method for variational inequalities with non-Lipschitz operators. Journal of Automation and Information Sciences. 2015. Vol. 47, N 7. P. 31–46. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v47.i7.40.

  15. Kassay G., Radulescu V.D. Equilibrium problems and applications. London: Academic Press, 2019. xx+419 p.

  16. Antipin A.S. Equilibrium programming: Proximal methods. Comput. Math. Math. Phys. 1997. Vol. 37. P. 1285–1296. https://doi.org/10.1134/S0965542507120044.

  17. Mastroeni G. On auxiliary principle for equilibrium problems. In: Daniele P. et al. (eds.). Equilibrium Problems and Variational Models. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. P. 289–298. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0239-1.

  18. Combettes P.L., Hirstoaga S.A. Equilibrium programming in Hilbert spaces. J. Nonlinear Convex Anal. 2005. Vol. 6. P. 117–136.

  19. Quoc T.D., Muu L.D., Hien N.V. Extragradient algorithms extended to equilibrium problems. Optimization. 2008. Vol. 57. P. 749–776. https://doi.org/10.1080/02331930601122876.

  20. Lyashko S.I., Semenov V.V., Voitova T.A. Low-cost modification of Korpelevich’s methods for monotone equilibrium problems. Cybernetics and Systems Analysis. 2011. Vol. 47, N 4. P. 631–639. https://doi.org/10.1007/s10559-011-9343-1.

  21. Lyashko S.I., Semenov V.V. A new two-step proximal algorithm of solving the problem of equilibrium programming. In: Goldengorin B. (ed.). Optimization and Its Applications in Control and Data Sciences. Springer Optimization and Its Applications, 115. Cham: Springer, 2016. P. 315–325. https://doi.org/10.1007/978-3-319-42056-1_10.

  22. Semenov V.V. Strongly convergent algorithms for variational inequality problem over the set of solutions the equilibrium problems. In: Zgurovsky M.Z., Sadovnichiy V.A. (eds.). Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications, 211, Springer International Publishing Switzerland, 2014. P. 131–146. https://doi.org/10.1007/978-3-319-03146-0_10.

  23. Vedel Ya.I., Denisov S.V., Semenov V.V. Algorithm for variational inequality problem over the set of solutions the equilibrium problems. Journal of Numerical and Applied Mathematics. 2020. N 1 (133). P. 18–30.

  24. Popov L.D. On schemes for the formation of a master sequence in a regularized extragradient method for solving variational inequalities. Russian Mathematics. 2004. Vol. 48, N 1. P. 67–76.

  25. Kinderlehrer D., Stampacchia G. An introduction to variational inequalities and their applications. New York: Academic Press, 1980. Russian transl., Moscow: Mir, 1983. 256 p.

  26. Bauschke H.H., Combettes P.L. Convex analysis and monotone operator theory in Hilbert spaces. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 2011. 408 p.

  27. Semenov V.V. A version of the mirror descent method to solve variational inequalities. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 2. P. 234–243. https://doi.org/10.1007/s10559-017-9923-9.

  28. Denisov S.V., Semenov V.V., Stetsyuk P.I. Bregman extragradient method with monotone rule of step adjustment. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. Vol. 55, N 3. P. 377–383. https://doi.org/ 10.1007/s10559-019-00144-5.

  29. Malitsky Yu.V., Semenov V.V. An extragradient algorithm for monotone variational inequalities. Cybernetics and Systems Analysis. 2014. Vol. 50, N 2. P. 271–277. https://doi.org/10.1007/ s10559-014-9614-8.




Інформація редакції Аннотації статей Автори Архів
Журнал Тематичні Розділи Редакція Редакційна колегія Приклади документів Передплата Контакти
© 2021 Kibernetika.org. All rights reserved.