УДК 519.688:535.3:517.958

Ю.Ю. БІЛАК
Державний вищий навчальний заклад «Ужгородський національний університет»,
Ужгород, Україна,  yuriy.bilak@uzhnu.edu.ua

А.М. РЕБЛЯН
Державний вищий навчальний заклад «Ужгородський національний університет»,
Ужгород, Україна,  antonina.reblian@uzhnu.edu.ua

ПАРАМЕТРИЧНИЙ СИНТЕЗ У СПЕКТРОСКОПІЇ НА ОСНОВІ
АНАЛІЗУ СПЕКТРАЛЬНОЇ ЧУТЛИВОСТІ

Анотація. Актуальність дослідження зумовлена фундаментальною роллю обернених задач параметричного синтезу у спектроскопії, які широко застосовують в оптиці, матеріалознавстві, лазерній діагностиці та суміжних галузях для відновлення фізичних параметрів середовищ за їхніми спектральними характеристиками. На практиці такі задачі часто є виродженими або слабо ідентифіковними через обмеженість спектрального інтервалу, кореляцію параметрів та нерівномірну спектральну чутливість, що призводить до нестійкості класичних методів мінімізації похибки та деградації точності оцінок. Тому актуальним є розроблення методів, які поєднують фізично обґрунтоване моделювання з методами машинного навчання та враховують інформаційну структуру спектральних даних. Метою роботи є розроблення та числова апробація концепції параметричного синтезу в обернених спектроскопічних задачах на основі нейромереж типу «physics-enhanced neural networks» з явним врахуванням спектральної ідентифіковності параметрів. У роботі використано методи математичного моделювання спектральних характеристик, аналізу чутливості, лінійної алгебри, теорії оцінювання (матриця Фішера, межа Крамера–Рао) та фізично інформовані нейромережеві архітектури. Параметричний синтез розглянуто як задачу навчання, проєктовану на підпростір параметрів, для яких інформаційна матриця є невиродженою, що забезпечує узгодженість нейромережевого розв’язку з фізичною структурою прямої задачі. Результати числових експериментів свідчать про те, що втрата спектральної ідентифіковності параметрів чітко проявляється на рівні функцій спектральної чутливості, спектра власних значень матриці Фішера та дисперсій оцінок параметрів. Показано, що використання обмеженого або регуляризованого параметричного простору в нейромережах типу «physics-enhanced neural networks» дає змогу усунути нестійкість навчання у вироджених випадках та підвищити фізичну інтерпретовність отриманих оцінок. Практичне значення роботи полягає у створенні підґрунтя для побудови стійких нейромережевих методів розв’язання обернених задач спектроскопії, орієнтованих на реальну інформаційну структуру спектральних даних.

Ключові слова: спектральна чутливість, параметричний синтез, спектральна ідентифіковність, обернені спектральні задачі, матриця Фішера, інформаційна оцінюваність, некоректні задачі, нейромережевий синтез параметрів.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Tikhonov D.S., Garg D., Schnell M. Inverse problems in pump–probe spectroscopy. Photochem. 2024. Vol. 4, Iss. 1. P. 57–110. https://doi.org/10.3390//photochem4010005.
2. Wang Z., Tao W., Zhao H. The optical inverse problem in quantitative photoacoustic tomography: A review. Photonics. 2023. Vol. 10, Iss. 5. Article number 487. https://doi.org/10.3390/photonics10050487.
3. Macdonald C.M., Arridge S.R., Munro P.R.T. On the inverse problem in optical coherence tomography. Sci Rep. 2023. Vol. 13. Article number 1507. https://doi.org/10.1038/s41598-023-28366-w.
4. Lan Q., McClarren R.G., Vishwanath K. Neural network-based inverse model for diffuse reflectance spectroscopy. Biomedical Optics Express. 2023. Vol. 14, Iss. 9. P. 4725–4738. https://doi.org/10.1364/BOE.490164.
5. Wu X., Shirvan K., Kozlowski T. Demonstration of the relationship between sensitivity and identifiability for inverse uncertainty quantification. Journal of Computational Physics. 2019. Vol. 396. P. 12–30. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2019.06.032.
6. Eisenberg M.C., Hayashi M.A. Determining identifiable parameter combinations using subset profiling. Mathematical Biosciences. 2014. Vol. 256. P. 116–126. https://doi.org/10.1016/j.mbs.2014.08.008.
7. Komorowski M., Costa M.J., Rand D.A., Stumpf M.P. Sensitivity, robustness, and identifiability in stochastic chemical kinetics models. Proceedings of the National Academy of Sciences. 2011. Vol. 108, N 21. P. 8645–8650. https://doi.org/10.1073/pnas.1015814108.
8. Iliadis A. Structural identifiability and sensitivity. Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics. 2019. Vol. 46, N 2. P. 127–135. https://doi.org/10.1007/s10928-019-09624-9.
9. Machado V.C., Tapia G., Gabriel D., et al. Systematic identifiability study based on the Fisher Information Matrix for reducing the number of parameters calibration of an activated sludge model. Environmental Modelling & Software. 2009. Vol. 24, Iss. 11. P. 1274–1284. https:// doi.org/10.1016/j.envsoft.2009.05.001.
10. Kreutz C. An easy and efficient approach for testing identifiability. Bioinformatics. 2018. Vol. 34, Iss. 11. P. 1913–1921. https://doi.org/10.1093/bioinformatics/bty035.
11. Liu Y., Suh K., Maini P.K., et al. Parameter identifiability and model selection for partial differential equation models of cell invasion. J R Soc Interface. 2024. Vol. 21(212). Article number 20230607. https://doi.org/10.1098/rsif.2023.0607.
12. Nordebo S., Gustafsson M., Nilsson B., et al. Fisher information analysis in electrical impedance tomography. Journal of Geophysics and Engineering. 2013. Vol. 10, Iss. 6. Article number 064008. https://doi.org/10.1088/1742-2132/10/6/064008.
13. Engl H., Hanke M., Neubauer A. Regularization of inverse problems. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2000. VIII + 322 p.
14. Hansen P.C. Discrete inverse problems: Insight and algorithms. SIAM, 2010. https://doi.org/10.1137/1.9780898718836.
15. Tarantola A. Inverse problem theory and methods for model parameter estimation. SIAM, 2005. https://doi.org/10.1137/1.9780898717921.
16. Vogel C.R. Computational methods for inverse problems. SIAM, 2002. https://doi.org/10.1137/1.9780898717570.
17. Gerth D. A new interpretation of (Tikhonov) regularization. Inverse Problems. 2021. Vol. 37, N 6. Article number 064002. https://doi.org/10.1088/1361-6420/abfb4d.
18. Al-Mahdawi H., Alkattan H., Abotaleb M., et al. Updating the Landweber iteration method for solving inverse problems. Mathematics. 2022. Vol. 10, Iss. 15. Article number 2798. https://doi.org/10.3390/math10152798.
19. Leitao A. Applications of the Backus-Gilbert method to linear and some nonlinear equations. Inverse Problems. 1999. Vol. 14, N 5. Article number 1285. https://doi.org/10.1088/0266-5611/14/5/012.
20. Gleichmann Y.G., Grote M.J. Adaptive spectral inversion for inverse medium problems. arXiv:2303.05229v2 [math.NA] 27 Jul 2023. https://doi.org/10.48550/arXiv.2303.05229.
21. Baffet D.H., Grote M.J., Tang J.H. Adaptive spectral decompositions for inverse medium problems. arXiv:2006.09682v1 [math.NA] 17 Jun 2020. https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.09682.
22. Rossat D., Baroth J., Briffaut M., Dufour F. Bayesian inversion using adaptive Polynomial Chaos Kriging within Subset Simulation. Journal of Computational Physics. 2022. Vol. 455. Article number 110986. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2022.110986.
23. Meng P., Xu Z., Wang X., et al. A novel method for solving the inverse spectral problem with incomplete data. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2025. Vol. 463. Article number 116525. https://doi.org/10.1016/j.cam.2025.116525.
24. Huang C., Chen F., Chang Y., et al. Adaptive operator-based spectral deconvolution with the Levenberg-Marquardt algorithm. Photonic Sensors. 2020. Vol. 10 P. 242–253. https://doi.org/10.1007/s13320-019-0571-8.
25. Park H., Park J.H., Hwang J. An inversion problem for optical spectrum data via physics-guided machine learning. Scientific Reports. 2024. Vol. 14. Article number 9042. https://doi.org/10.1038/s41598-024-59594-3.
26. Wang L., Shi S., Zhou K. Reconstructing spectral functions via automatic differentiation. Physical Review D. 2022. Vol. 106(5). Article number L051502. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.106.L051502.
27. Dwivedi V., Srinivasan B., Sigovan M., Sixou B. Kernel-Adaptive PI-ELMs for forward and inverse problems in PDEs with sharp gradients. arXiv:2507.10241v2 [cs.LG] 22 Nov 2025. https://doi.org/10.48550/arXiv.2507.10241.
28. Bilak Yu. Development of a hybrid model «Physics-informed autoencoder with spectral consistency». Computer systems and information technologies. 2026. № 2. P. 33–47. https://doi.org/10.31891/csit-2026-2-4.
29. Shi S., Liu D., Ji R., Han Y. An adaptive physics-informed neural network with two-stage learning strategy to solve partial differential equations. Numerical Mathematics: Theory, Methods and Applications. 2023. Vol. 16, N 2. P. 298–322. https://doi.org/10.4208/nmtma.OA-2022-0063.
30. Wang S., Li B., Chen Y., Perdikaris P. Piratenets: Physics-informed deep learning with residual adaptive networks. arXiv:2402.00326v3 [cs.LG] 11 Feb 2024. https://doi.org/10.48550/arXiv.2402.00326.
31. Zhao B.R., Sun D.K., Wu H., et al. Physics-informed neural networks for solving inverse problems in phase field models. Neural Networks. 2025. Vol. 190. Article number 107665. https://doi.org/10.1016/j.neunet.2025.107665.
32. Білак Ю.Ю., Сайберт Ф.Ф., Реблян А.М. Розробка гібридної моделі оберненого аналізу для оцінки спектральних характеристик багатошарових структур. Вісник ХНТУ. 2025. Т. 2б № 1(92). С. 22–31 https://doi.org/10.35546/kntu2078-4481.2025.1.2.3.
33. Gunar S., Heinzel P. High-precision spectral inversions: Determining what is important for the accurate definition of incident radiation boundary conditions. A&A. 2024. Vol. 687. Article number A231. https://doi.org/10.1051/0004-6361/202449551.
34. Rai N., Mondal S. Spectral methods to solve nonlinear problems: A review. Partial Differential Equations in Applied Mathematics. 2021. Vol. 4. Article number 100043. https://doi.org/0.1016/j.padiff.2021.100043.
35. Kaipio J., Somersalo E. Statistical and computational inverse problems. AMS. Vol. 160. New York: Springer-Verlag, 2005. 340 p. https://doi.org/10.1007/b138659.
36. Kirsch A. An introduction to the mathematical theory of inverse problems. New York: Springer New York, 2011. 310 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-8474-6.
37. Stoica P., Moses R. Spectral analysis of signals. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall, 2005. 452 p.
38. Raue A., Kreutz C., Maiwald T., et al. Structural and practical identifiability analysis of partially observed dynamical models by exploiting the profile likelihood. Bioinformatics. 2009. Vol. 25, Iss. 15. P. 1923–1929. https://doi.org/10.1093/bioinformatics/btp358.