УДК 621.391.15 : 519.7
СУПЕРСИНГУЛЯРНІ СКРУЧЕНІ КРИВІ ЕДВАРДСА НАД ПРОСТИМ ПОЛЕМ.
I. СУПЕРСИНГУЛЯРНІ СКРУЧЕНІ КРИВІ ЕДВАРДСА
З j -ІНВАРІАНТАМИ, ЯКІ ДОРІВНЮЮТЬ НУЛЮ ТА 123
Анотація. Проаналізовано умови існування суперсингулярних скручених кривих Едвардса над простим полем.
Cформульовано та доведено теореми про умови існування суперсингулярних кривих з j-інваріантами, які дорівнюють нулю та 123,
в різних класах кривих. На базі цих результатів отримано конкретні параметри для деяких суперсингулярних кривих.
Наведено узагальнення отриманих раніше разультатів, що використовує ізоморфізм кривих у формах Вейєрштрасса та Едвардса.
Ключові слова: суперсингулярна крива, повна крива Едвардса, скручена крива Едвардса, квадратична крива Едвардса, пара кручення, порядок точки, символ Лежандра, квадратичний лишок, квадратичний нелишок.
ПОВНИЙ ТЕКСТ
Бессалов Анатолий Владимирович,
доктор техн. наук, профессор, профессор кафедры Физико-технического института НТУУ «КПИ имени Игоря Сикорского», Киев,
bessalov@ukr.net
Ковальчук Людмила Васильевна,
доктор техн. наук, профессор, профессор кафедры Физико-технического института НТУУ «КПИ имени Игоря Сикорского», Киев,
lusi.kovalchuk@gmail.com
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
- Бессалов А.В. Эллиптические кривые в форме Эдвардса и криптография. Киев: КПИ имени Игоря Сикорского. Изд-во «Политехника», 2017. 272 с.
- Bernstein D.J., Lange T. Faster addition and doubling on elliptic curves. In: Advances in Cryptology — ASIACRYPT’2007 (Proc. 13th Int. Conf. on the Theory and Application of Cryptology and Information Security. Kuching, Malaysia (December 2–6, 2007)). Lect. Notes Comp. Sci. V. 4833. Berlin: Springer, 2007. P. 29–50.
- Menezes A.J, Okamoto T., Vanstone S.A. Reducing elliptic curve logarithms to logarithms in a finite field. University of Waterloo. Sep. 1990. And IEEE Transactions on Information Theory. 1993. Vol. 39. P. 1639–1646.
- Washington L.C. Elliptic curvres. Number theory and cryptography. Second Edition. CRC Press. Tailor and Francis Group. A Chapman and Hall Book, 2008. 513 p.
- Tanushree Banerjee, Anwar Hasan M. Energy efficiency analysis of elliptic curve based cryptosystems. URL: http://cacr2018-04 DH-Isogenies.
- Adj G., Cervantes-Vazquez D., Chi-Dominguez J.-J., Menezes A., Rodriguez-Henriquez F. On the cost of computing isogenies between supersingular elliptic curves. URL: http://cacr2018-03 Menezes Isogenies on SSC.
- Youngho Y., Azarderakhsh R., Jalali A., Jao D., Soukharev V. A post-quantum digital signature scheme based on supersingular isogenies. Cryptology ePrint Archive, Report 2017/186, 2017. URL: http://eprint.iacr.org/2017/186. 18 p.
- Bernstein D.J., Birkner P., Joye M., Lange T., Peters Ch. Twisted Edwards curves. IST Programme under Contract IST-2002-507932 ECRYPT, and in part by the National Science Foundation under grant ITR-0716498, 2008. Р. 1–17.
- Бессалов А.В., Цыганкова О.В. Взаимосвязь семейств точек больших порядков кривой Эдвардса над простым полем. Проблемы передачи информации. 2015. Т. 51, вып. 4. C. 92–98.
- Бессалов А.В., Цыганкова О.В. Классификация кривых в форме Эдвардса над простым полем. Прикладная радиоэлектроника. 2015. Т. 14, № 4. С. 197–203.
- Бессалов А.В., Цыганкова О.В. Число кривых в обобщенной форме Эдвардса с минимальным четным кофактором порядка кривой. Проблемы передачи информации. 2017. Т. 53, вып 1. С. 101–111.
- Бессалов А.В., Телиженко А.Б. Криптосистемы на эллиптических кривых. Киев: ІВЦ «Політехніка», 2004. 224 с.
- Morain F. Edwards curves and CM curves. ArXiv 0904/2243v1 [Math.NT] Apr. 15, 2009. 15 p.
- Дэвенпорт Г. Высшая арифметика: введение в теорию чисел. Пер. с англ. (под ред. Линника Ю.В.). Москва: Наука, 1965. 176 с.
- Бессалов А.В., Цыганкова О.В. Суперсингулярные полные кривые Эдвардса над простым полем. Радиотехника. 2017. № 191. С. 88–98.
