УДК 621.391.15 : 519.7
СУПЕРСИНГУЛЯРНЫЕ СКРУЧЕННЫЕ КРИВЫЕ ЭДВАРДСА НАД ПРОСТЫМ ПОЛЕМ.
I. СУПЕРСИНГУЛЯРНЫЕ СКРУЧЕННЫЕ КРИВЫЕ ЭДВАРДСА
С j -ИНВАРИАНТАМИ, РАВНЫМИ НУЛЮ И 123
Аннотация. Дан анализ условий существования суперсингулярных скрученных кривых Эдвардса над простым полем.
Cформулированы и доказаны теоремы об условиях существования суперсингулярных кривых с j-инвариантами, равными нулю и 123,
в разных классах кривых. На основании этих результатов получены конкретные параметры для некоторых суперсингулярных кривых.
Приведено обобщение полученных ранее результатов, использующее изоморфизм кривых в формах Вейерштрасса и Эдвардса.
Ключевые слова: суперсингулярная кривая, полная кривая Эдвардса, скрученная кривая Эдвардса, квадратичная кривая Эдвардса, пара кручения, порядок точки, символ Лежандра, квадратичный вычет, квадратичный невычет.
ПОЛНЫЙ ТЕКСТ
Бессалов Анатолий Владимирович,
доктор техн. наук, профессор, профессор кафедры Физико-технического института НТУУ «КПИ имени Игоря Сикорского», Киев,
bessalov@ukr.net
Ковальчук Людмила Васильевна,
доктор техн. наук, профессор, профессор кафедры Физико-технического института НТУУ «КПИ имени Игоря Сикорского», Киев,
lusi.kovalchuk@gmail.com
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Бессалов А.В. Эллиптические кривые в форме Эдвардса и криптография. Киев: КПИ имени Игоря Сикорского. Изд-во «Политехника», 2017. 272 с.
- Bernstein D.J., Lange T. Faster addition and doubling on elliptic curves. In: Advances in Cryptology — ASIACRYPT’2007 (Proc. 13th Int. Conf. on the Theory and Application of Cryptology and Information Security. Kuching, Malaysia (December 2–6, 2007)). Lect. Notes Comp. Sci. V. 4833. Berlin: Springer, 2007. P. 29–50.
- Menezes A.J, Okamoto T., Vanstone S.A. Reducing elliptic curve logarithms to logarithms in a finite field. University of Waterloo. Sep. 1990. And IEEE Transactions on Information Theory. 1993. Vol. 39. P. 1639–1646.
- Washington L.C. Elliptic curvres. Number theory and cryptography. Second Edition. CRC Press. Tailor and Francis Group. A Chapman and Hall Book, 2008. 513 p.
- Tanushree Banerjee, Anwar Hasan M. Energy efficiency analysis of elliptic curve based cryptosystems. URL: http://cacr2018-04 DH-Isogenies.
- Adj G., Cervantes-Vazquez D., Chi-Dominguez J.-J., Menezes A., Rodriguez-Henriquez F. On the cost of computing isogenies between supersingular elliptic curves. URL: http://cacr2018-03 Menezes Isogenies on SSC.
- Youngho Y., Azarderakhsh R., Jalali A., Jao D., Soukharev V. A post-quantum digital signature scheme based on supersingular isogenies. Cryptology ePrint Archive, Report 2017/186, 2017. URL: http://eprint.iacr.org/2017/186. 18 p.
- Bernstein D.J., Birkner P., Joye M., Lange T., Peters Ch. Twisted Edwards curves. IST Programme under Contract IST-2002-507932 ECRYPT, and in part by the National Science Foundation under grant ITR-0716498, 2008. Р. 1–17.
- Бессалов А.В., Цыганкова О.В. Взаимосвязь семейств точек больших порядков кривой Эдвардса над простым полем. Проблемы передачи информации. 2015. Т. 51, вып. 4. C. 92–98.
- Бессалов А.В., Цыганкова О.В. Классификация кривых в форме Эдвардса над простым полем. Прикладная радиоэлектроника. 2015. Т. 14, № 4. С. 197–203.
- Бессалов А.В., Цыганкова О.В. Число кривых в обобщенной форме Эдвардса с минимальным четным кофактором порядка кривой. Проблемы передачи информации. 2017. Т. 53, вып 1. С. 101–111.
- Бессалов А.В., Телиженко А.Б. Криптосистемы на эллиптических кривых. Киев: ІВЦ «Політехніка», 2004. 224 с.
- Morain F. Edwards curves and CM curves. ArXiv 0904/2243v1 [Math.NT] Apr. 15, 2009. 15 p.
- Дэвенпорт Г. Высшая арифметика: введение в теорию чисел. Пер. с англ. (под ред. Линника Ю.В.). Москва: Наука, 1965. 176 с.
- Бессалов А.В., Цыганкова О.В. Суперсингулярные полные кривые Эдвардса над простым полем. Радиотехника. 2017. № 191. С. 88–98.
