УДК 517.988
БРЕГМАНІВСЬКИЙ ЕКСТРАГРАДІЄНТНИЙ МЕТОД З МОНОТОННИМ
РЕГУЛЮВАННЯМ КРОКУ
Анотація. Запропоновано новий варіант екстраградіентного методу для наближеного розв’язання варіаційних нерівностей з псевдомонотонними та ліпшицевими операторами, що діють в скінченновимірному лінійному нормованому просторі. У методі використано розбіжність (відстань) Брегмана замість евклідової відстані та нове регулювання величини кроку, що не вимагає знання константи Ліпшиця для оператора. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, в запропонованому методі не потрібно додатково обчислювати значення оператора та прокс-відображення. Доведено теорему збіжності методу.
Ключові слова: варіаційна нерівність, псевдомонотонність, умова Липшиця, екстраградієнтний метод, розбіжність Брегмана, збіжність.
ПОВНИЙ ТЕКСТ
Денисов Cергей Викторович,
ассистент кафедры Киевского национального университета имени Тараса Шевченко,
sireukr@gmail.com
Семёнов Владимир Викторович,
доктор. физ.-мат. наук, профессор, профессор кафедры Киевского национального университета имени Тараса Шевченко,
semenov.volodya@gmail.com
Стецюк Петр Иванович,
доктор. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, заведующий отделом Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины,
stetsyukp@gmail.com
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
- Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. Москва: Наука, 1988. 448 с.
- Nagurney A. Network economics: A variational inequality approach. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. 325 p.
- Tseng P. A modified forward-backward splitting method for maximal monotone mappings. SIAM J. Control Optim. 2000. Vol. 38. P. 431–446.
- Facchinei F., Pang J.-S. Finite-dimensional variational inequalities and complementarily problem. Vol. 2. New York: Springer, 2003. 666 p.
- Stetsyuk P.I., Fesiuk O.V., Khomyak O.N. The generalized ellipsoid method. Cybernetics and Systems Analysis. 2018. Vol. 54, N 4. P. 576–584.
- Nesterov Yu. Dual extrapolation and its applications to solving variational inequalities and related problems. Mathematical Programming. 2007. Vol. 109, Iss. 2–3. P. 319–344.
- Нурминский Е.А. Использование дополнительных малых воздействий в фейеровских моделях итеративных алгоритмов. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. T. 48, № 12. С. 2121–2128.
- Semenov V.V. On the parallel proximal decomposition method for solving the problems of convex optimization. Journal of Automation and Information Sciences. 2010. Vol. 42, Iss. 4. P. 13–18.
- Semenov V.V. A Strongly convergent splitting method for systems of operator inclusions with monotone operators. Journal of Automation and Information Sciences. 2014. Vol. 46, Iss. 5. P. 45–56.
- Semenov V.V. Hybrid splitting methods for the system of operator inclusions with monotone operators. Cybernetics and Systems Analysis. 2014. Vol. 50, N 5. P. 741–749.
- Yang J., Liu H.W. Strong convergence result for solving monotone variational inequalities in Hilbert space. Numerical Algorithms. 2018. DOI: https://doi.org/10.1007/s11075-018-0504-4.
- Gidel G., Berard H., Vincent P., Lacoste-Julien S. A Variational inequality perspective on generative adversarial networks. arXiv preprint arXiv:1802.10551. 2018.
- Корпелевич Г.М. Экстраградиентный метод для отыскания седловых точек и других задач. Экономика и математические методы. 1976. Т. 12, № 4. С. 747–756.
- Хоботов Е.Н. О модификации экстраградиентного метода для решения вариационных неравенств и некоторых задач оптимизации. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. Т. 27, № 10. С. 1462–1473.
- Semenov V.V. Strongly convergent algorithms for variational inequality problem over the set of solutions the equilibrium problems. In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Zgurovsky M.Z., Sadovnichiy V.A. (Eds.). Springer International Publishing, 2014. Vol. 211. P. 131–146.
- Denisov S.V., Semenov V.V., Chabak L.M. Convergence of the modified extragradient method for variational inequalities with non-Lipschitz operators. Cybernetics and Systems Analysis. 2015. Vol. 51, N 5. P. 757–765.
- Verlan D.A., Semenov V.V., Chabak L.M. A Strongly convergent modified extragradient method for variational inequalities with non-Lipschitz operators. Journal of Automation and Information Sciences. 2015. Vol. 47, Iss. 7. P. 31–46.
- Nemirovski A. Prox-method with rate of convergence O(1/t) for variational inequalities with Lipschitz continuous monotone operators and smooth convex-concave saddle point problems. SIAM Journal on Optimization. 2004. Vol. 15. P. 229–251.
- Semenov V.V. Modified extragradient method with bregman divergence for variational inequalities. Journal of Automation and Information Sciences. 2018. Vol. 50, Iss. 8. P. 26–37.
- Semenov V.V. A Version of the mirror descent method to solve variational inequalities. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 2. P. 234–243.
- Chabak L., Semenov V., Vedel Y. A new non-Euclidean proximal method for equilibrium problems. In: Recent Developments in Data Science and Intelligent Analysis of Information: Proc. XVIII ICDSIAI 2018. Advances in Intelligent Systems and Computing. Chertov O., Mylovanov T., Kondratenko Y., Kacprzyk J., Kreinovich V., Stefanuk V. (Eds.) Cham: Springer, 2019. Vol. 836. P. 50–58.
- Номировский Д.А., Рублев Б.В., Семёнов В.В. Сходимость двухэтапного метода с расхождением Брэгмана для вариационных неравенств. Кибернетика и системный анализ. 2019. Т. 55, № 3. С. 17–27.
- Lyashko S.I., Semenov V.V. A new two-step proximal algorithm of solving the problem of equilibrium programming. In: Optimization and Its Applications in Control and Data Sciences. Springer Optimization and Its Applications. Goldengorin B. (Ed.). Cham: Springer, 2016. Vol. 115. P. 315–325.
- Beck A. First-order methods in optimization. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2017. 479 p.
