УДК 519.6

ІСНУВАННЯ ТА ЄДИНІСТЬ ЗВАЖЕНОГО НОРМАЛЬНОГО ПСЕВДОРОЗВ’ЯЗКУ

Химич Александр Николаевич,
чл.-кор. НАН Украины, доктор физ.-мат. наук, профессор, заместитель директора Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев,  khimich505@gmail.com

Николаевская Елена Анатольевна,
кандидат физ.-мат. наук, научный сотрудник Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев,  elena_nea@ukr.net

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Chipman J.S. On least squares with insufficient observation. J. Amer. Statist. Assoc. 1964. Vol. 59, Iss. 308. P. 1078–1111.


2. Milne R.D. An oblique matrix pseudoinverse. SIAM J. Appl. Math. 1968. Vol. 16, N 5. P. 931–944.


3. Ward J.F., Boullion T.L., Lewis T.O. Weighted pseudoinverses with singular weights. SIAM J. Appl. Math. 1971. Vol. 21, N 3. P. 480–482.


4. Галба Е.Ф., Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Взвешенные псевдообратные матрицы и взвешенные нормальные псевдорешения с вырожденными весами. Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2009. Т. 49, № 8. С. 1347–1363.


5. Сергиенко И.В., Галба Е.Ф., Дейнека В.С. Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами. Укр. матем. журн. 2011. Т. 63, № 1. С. 80–101.


6. Варенюк Н.А., Галба Е.Ф., Сергиенко И.В., Химич А.Н. Взвешенная псевдоинверсия с индефинитными весами. Укр. матем. журн. 2018. Т. 70, № 6. С. 752–772.


7. Галба Е.Ф., Варенюк Н.А. Представление взвешенных псевдообратных матриц с смешанными весами через другие псевдообратные матрицы. Кибернетика и системный анализ. 2018. Т. 54, № 2. С. 17–25.


8. Галба Е.Ф., Варенюк Н.А. Разложение взвешенных псевдообратных матриц со смешанными весами в матричные степенные ряды и произведения. Кибернетика и системный анализ. 2019. Т. 55, № 5. С. 67–80.


9. Goldman A.J., Zelen M. Weak generalized inverses and minimum variance linear unbiased estimation. J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. 1964. Vol. 38, N 4. P. 151–172.


10. Watson G.S. Linear least squares regression. Ann. Math. Statist. 1967. Vol. 38, N 6. P. 1679–1699.


11. Zyskind G. On canonical forms, non-negative covariance matrices and best and simple least squares linear estimators in linear models. Ann. Math. Statist. 1967. Vol. 38, N 4. P. 1092–1109.


12. Rao C. R., Mitra S.K. Generalized inverse of a matrix and its applications. Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. 1972. Vol. 1. P. 601–620.


13. Rao C.R., Mitra S.K. Generalized inverse of matrices and its applications. New York: Wiley, 1971. 240 p.


14. Rao C.R., Mitra S.K. Theory and application of constrained inverse of matrices. SIAM J. Appl. Math. 1973. Vol. 24, N 4. P. 473–488.


15. Nashed M.Z., Votruba G.F. A unified operator theory of generalized inverses. Generalized inverses and applications. Publ. Math. Res. Center Univ. Wisconsin. 1976. N 32. P. 1–109.


16. Nashed M.Z. Generalized inverses and applications. New York: Acad. Press, 1976. 1024 p.


17. Ben-Israel A., Greville T.N.E. Generalized inverses: Theory and applications. New York: Springer-Verlag, 2003. 420 p.


18. Химич А.Н. Оценки возмущений для решения задачи наименьших квадратов. Кибернетика и системный анализ. 1996. № 3. С. 142–145.


19. Химич А.Н., Николаевская Е.А. Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными. Кибернетика и системный анализ. 2008. № 6. С. 83–95.


20. Николаевская Е.А., Химич А.Н. Оценка погрешности взвешенного нормального псевдорешения с положительно-определенными весами. Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49, № 3. С. 422–430.


21. Wei Y., Wang D. Condition numbers and perturbation of the weighted Moore-Penrose inverse and weighted linear least squares problem. Appl. Math. Comput. 2003. Vol. 145, Iss. 1. P. 45–58.


22. Wei Y. A note on the sensitivity of the solution of the weighted linear least squares problem. Appl. Math. Comput. 2003. Vol. 145, Iss. 2–3. P. 481–485.


23. Галба Е.Ф., Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Разложения и многочленные предельные представления взвешенных псевдообратных матриц. Ж. вычис. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, № 5. С. 747–766.


24. Блюмин С.Л., Миловидов С.П. Взвешенное псевдообращение в оптимальном управлении дискретно-аргументными системами. Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1992. № 1. С. 227.


25. Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Взвешенное псевдообращение комплексных матриц. Укр. матем. журн. 1983. Т. 35, № 1. С. 53–57.


26. Elden L. A weighted pseudoinverse, generalized singular values and constrained least squares problems. BIT. 1982. Vol. 22. P. 487–502.


27. Wei Y. The weighted Moore–Penrose inverse of modified matrices. Appl. Math. Comput. 2001. Vol. 122, Iss. 1. P. 1–13.


28. Ward J.F. On a limit formula for weighted pseudoinverses. SIAM J. Appl. Math. 1977. Vol. 33, N 1. P. 34–38.


29. Ward J.F., Boullion T.L., Lewis T.O. Weighted pseudoinverses with singular weights. SIAM J. Appl. Math. 1971. Vol. 21, N 3. P. 480–482.


30. Wang G., Wei Y., Qiao S. Generalized inverses: Theory and computations. Beijing: Science Press, 2004. 294 p.


31. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. Москва: Наука, 1977. 223 с.