УДК 519.6
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВЗВЕШЕННОГО НОРМАЛЬНОГО ПСЕВДОРЕШЕНИЯ
Аннотация. Исследована задача взвешенных наименьших квадратов с положительно-определенными
весами
M и N для матриц произвольного вида и ранга.
Доказаны существование и единственность M-взвешенного решения наименьших квадратов
с минимальной N-нормой
системы Ax = b.
Ключевые слова: взвешенная псевдообратная матрица, взвешенное нормальное псевдорешение, задача взвешенных наименьших квадратов.
ПОЛНЫЙ ТЕКСТ
Химич Александр Николаевич,
чл.-кор. НАН Украины, доктор физ.-мат. наук, профессор, заместитель директора Института кибернетики им. В.М.
Глушкова НАН Украины, Киев, 
khimich505@gmail.com
Николаевская Елена Анатольевна,
кандидат физ.-мат. наук, научный сотрудник Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, elena_nea@ukr.net
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Chipman J.S. On least squares with insufficient observation. J. Amer. Statist. Assoc. 1964. Vol. 59, Iss. 308. P. 1078–1111.
- Milne R.D. An oblique matrix pseudoinverse. SIAM J. Appl. Math. 1968. Vol. 16, N 5. P. 931–944.
- Ward J.F., Boullion T.L., Lewis T.O. Weighted pseudoinverses with singular weights. SIAM J. Appl. Math. 1971. Vol. 21, N 3. P. 480–482.
- Галба Е.Ф., Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Взвешенные псевдообратные матрицы и взвешенные нормальные псевдорешения с вырожденными весами. Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2009. Т. 49, № 8. С. 1347–1363.
- Сергиенко И.В., Галба Е.Ф., Дейнека В.С. Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами. Укр. матем. журн. 2011. Т. 63, № 1. С. 80–101.
- Варенюк Н.А., Галба Е.Ф., Сергиенко И.В., Химич А.Н. Взвешенная псевдоинверсия с индефинитными весами. Укр. матем. журн. 2018. Т. 70, № 6. С. 752–772.
- Галба Е.Ф., Варенюк Н.А. Представление взвешенных псевдообратных матриц с смешанными весами через другие псевдообратные матрицы. Кибернетика и системный анализ. 2018. Т. 54, № 2. С. 17–25.
- Галба Е.Ф., Варенюк Н.А. Разложение взвешенных псевдообратных матриц со смешанными весами в матричные степенные ряды и произведения. Кибернетика и системный анализ. 2019. Т. 55, № 5. С. 67–80.
- Goldman A.J., Zelen M. Weak generalized inverses and minimum variance linear unbiased estimation. J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. 1964. Vol. 38, N 4. P. 151–172.
- Watson G.S. Linear least squares regression. Ann. Math. Statist. 1967. Vol. 38, N 6. P. 1679–1699.
- Zyskind G. On canonical forms, non-negative covariance matrices and best and simple least squares linear estimators in linear models. Ann. Math. Statist. 1967. Vol. 38, N 4. P. 1092–1109.
- Rao C. R., Mitra S.K. Generalized inverse of a matrix and its applications. Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. 1972. Vol. 1. P. 601–620.
- Rao C.R., Mitra S.K. Generalized inverse of matrices and its applications. New York: Wiley, 1971. 240 p.
- Rao C.R., Mitra S.K. Theory and application of constrained inverse of matrices. SIAM J. Appl. Math. 1973. Vol. 24, N 4. P. 473–488.
- Nashed M.Z., Votruba G.F. A unified operator theory of generalized inverses. Generalized inverses and applications. Publ. Math. Res. Center Univ. Wisconsin. 1976. N 32. P. 1–109.
- Nashed M.Z. Generalized inverses and applications. New York: Acad. Press, 1976. 1024 p.
- Ben-Israel A., Greville T.N.E. Generalized inverses: Theory and applications. New York: Springer-Verlag, 2003. 420 p.
- Химич А.Н. Оценки возмущений для решения задачи наименьших квадратов. Кибернетика и системный анализ. 1996. № 3. С. 142–145.
- Химич А.Н., Николаевская Е.А. Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными. Кибернетика и системный анализ. 2008. № 6. С. 83–95.
- Николаевская Е.А., Химич А.Н. Оценка погрешности взвешенного нормального псевдорешения с положительно-определенными весами. Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49, № 3. С. 422–430.
- Wei Y., Wang D. Condition numbers and perturbation of the weighted Moore-Penrose inverse and weighted linear least squares problem. Appl. Math. Comput. 2003. Vol. 145, Iss. 1. P. 45–58.
- Wei Y. A note on the sensitivity of the solution of the weighted linear least squares problem. Appl. Math. Comput. 2003. Vol. 145, Iss. 2–3. P. 481–485.
- Галба Е.Ф., Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Разложения и многочленные предельные представления взвешенных псевдообратных матриц. Ж. вычис. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, № 5. С. 747–766.
- Блюмин С.Л., Миловидов С.П. Взвешенное псевдообращение в оптимальном управлении дискретно-аргументными системами. Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1992. № 1. С. 227.
- Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Взвешенное псевдообращение комплексных матриц. Укр. матем. журн. 1983. Т. 35, № 1. С. 53–57.
- Elden L. A weighted pseudoinverse, generalized singular values and constrained least squares problems. BIT. 1982. Vol. 22. P. 487–502.
- Wei Y. The weighted Moore–Penrose inverse of modified matrices. Appl. Math. Comput. 2001. Vol. 122, Iss. 1. P. 1–13.
- Ward J.F. On a limit formula for weighted pseudoinverses. SIAM J. Appl. Math. 1977. Vol. 33, N 1. P. 34–38.
- Ward J.F., Boullion T.L., Lewis T.O. Weighted pseudoinverses with singular weights. SIAM J. Appl. Math. 1971. Vol. 21, N 3. P. 480–482.
- Wang G., Wei Y., Qiao S. Generalized inverses: Theory and computations. Beijing: Science Press, 2004. 294 p.
- Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. Москва: Наука, 1977. 223 с.
