УДК 519.633
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
ПО ВОССТАНОВЛЕНИЮ ИСТОЧНИКА
СПЕЦИАЛЬНОГО
ВИДА В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ
Аннотация. Рассматривается обратная задача по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении при начальных и граничных условиях. Специфика задачи состоит в том, что идентифицируемые параметры зависят от временной переменной и являются сомножителями коэффициента свободного члена правой части. Предложен численный метод решения задачи, основанный на методе прямых и специальном виде представления для решения. Метод не требует построения каких-либо итерационных процедур. Приводятся результаты численных экспериментов, проведенных на тестовой задаче.
Ключевые слова: обратная задача, нелокальные условия, метод прямых, параболическое уравнение, параметрическая идентификация.
ПОЛНЫЙ ТЕКСТ
Рагимов Анар Бейбала оглы,
кандидат физ.-мат. наук, доцент, ведущий научный сотрудник Института систем управления НАН Азербайджана, Баку,
anar_r@yahoo.com; anar.rahimov@fresnel.fr
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: M. Dekker, 2000. 709 p.
- Ivanchov M.I. Inverse problems for equations of parabolic type. VNTL Publications. Lviv, Ukraine, 2003. 238 p.
- Кожанов А.И. Обратные задачи восстановления правой части специального вида в параболическом уравнении. Математические заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 4. С. 31–45.
- Прилепко А.И., Соловьев В.В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнения параболического типа. I. Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, № 10. С. 1791–1799.
- Соловьев В.В. Определение источника и коэффициентов в параболическом уравнении в многомерном случае. Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, № 6. С. 1060–1069.
- Johansson T., Lesnic D. A variational method for identifying a spacewise-dependent heat source. IMA Journal of Applied Mathematics. 2007. Vol. 72, N 6. P. 748–760. https://doi.org/ 10.1093/imamat/hxm024.
- Hasanov A. Identification of spacewise and time dependent source terms in 1D heat conduction equation from temperature measurement at a final time. International Journal of Heat and Mass Transfer. 2012. Vol. 55. P. 2069–2080. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer. 2011.12.009.
- Hasanov A. An inverse source problem with single Dirichlet type measured output data for a linear parabolic equation. Applied Mathematics Letters. 2011. Vol. 24. P. 1269–1273. https://doi.org/10.1016/j.aml.2011.02.023.
- Hasanov A., Otelbaev M., Akpayev B. Inverse heat conduction problems with boundary and final time measured output data. Inverse Problems in Science and Engineering. 2011. Vol. 19. P. 895–1006. https://doi.org/10.1080/17415977.2011.565931.
- Farcas A., Lesnic D. The boundary-element method for the determination of a heat source dependent on one variable. Journal of Engineering Mathematics. 2006. Vol. 54. P. 375–388. https://doi.org/10.1007/s10665-005-9023-0.
- Yan L., Fu C.L., Yang F.L. The method of fundamental solutions for the inverse heat source problem. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2008. Vol. 32. P. 216–222. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2007.08.002.
- Ahmadabadi M. Nili, Arab M., Maalek Ghaini F.M. The method of fundamental solutions for the inverse space-dependent heat source problem. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2009. Vol. 33. P. 1231–1235. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2009.05.001.
- Ismailov M.I., Kanca F., Lesnic D. Determination of a time-dependent heat source under nonlocal boundary and integral overdetermination conditions. Applied Mathematics and Computation. 2011. Vol. 218. P. 4138–4146. https://doi.org/10.1016/j.amc.2011.09.044.
- Абрамов А.А., Бураго Н.Г., Диткин В.В., Дышко А.Л., Заболоцкая А.Ф., Конюхова Н.Б., Парийский Б.С., Ульянова В.И., Чечель И.И. Пакет прикладных программ для решения линейных двухточечных краевых задач. Cообщения по программному обеспечению ЭВМ. Москва: ВЦ АН СССР, 1982. 63 с.
- Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Москва: Наука, 1978. 592 с.
- Aida-zade K.R., Rahimov A.B. An approach to numerical solution of some inverse problems for parabolic equations. Inverse Problems in Science and Engineering. 2014. Vol. 22, N 1. P. 96–111. https://doi.org/10.1080/17415977.2013.827184.
- Aida-zade K.R., Rahimov A.B. Solution to classes of inverse coefficient problems and problems with nonlocal conditions for parabolic equations. Differential Equations. 2015. Vol. 51, N 1. P. 83–93. https://doi.org/10.1134/S0012266115010085.
- Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений. Успехи математических наук. 1960. Т. 15, № 2. С. 97–154.
- Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. Успехи математических наук. 1962. Т. 17, № 3. С. 3–146.
- Эйдельман С.Д. Параболические уравнения. Дифференциальные уравнения с частными производными – 6. Итоги науки и техники. Сер. Современ. пробл. математики. Фундаментальные направления, 63. Москва: ВИНИТИ, 1990. С. 201–313.
- Смирнов В.И. Курс высшей математики. Москва: Наука, 1981. Т. IV. Ч. 2. 551 с.
- Соловьев В.В. Существование решения в «целом» обратной задачи определения источника в квазилинейном уравнении параболического типа. Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 4. С. 536–544.
- Rahimov A.B. Numerical solution to a class of inverse problems for parabolic equation. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 3. P. 392–402. https://doi.org/10.1007/s10559-017-9939-1.
- Пулькина Л.С. Об одном классе нелокальных задач и их связи с обратными задачами. Тр. Третьей Всерос. науч. конф. «Дифференциальные уравнения и краевые задачи, Математическое моделирование и краевые задачи». Ч. 3. Самара: Изд. СамГТУ, 2006. C. 190–192.
- Rothe E. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben als Grenzfall eindimensionaler Randwertaufgaben. Math. Ann. 1930. Vol. 102, N 1. P. 650–670.
