Cybernetics And Systems Analysis logo
Інформація редакції Аннотації статей Автори Архів
Кібернетика і Системний Аналіз
Міжнародний Науково-Теоретичний Журнал
УДК 517.988
Я.І. Ведель, Г.В. Сандраков, В.В. Семенов

АДАПТИВНИЙ ДВОЕТАПНИЙ ПРОКСИМАЛЬНИЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ЗАДАЧІ
ПРО РІВНОВАГУ В ПРОСТОРАХ АДАМАРА

Анотація. Pозглянуто задачі про рівновагу в метричних просторах Адамара. Для наближеного розв’язання задач запропоновано та досліджено новий іте-раційний адаптивний двоетапний проксимальний алгоритм. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, в запропонова-ному алгоритмі не виконуються обчислення значень біфункції в додаткових точках, а також знання інформації про величину ліпшицевих констант біфункції не потрібно. Для псевдомонотонних біфункцій ліпшицевого типу доведено теорему про слабку збіжність породжених алгоритмом послідов-ностей. Запропонований алгоритм можна застосувати до псевдомонотонних варіаційних нерівностей у гільбертових просторах.

Ключові слова: простір Адамара, задача про рівновагу, псевдомоно-тонність, двоетапний проксимальний алгоритм, адаптивність, збіжність.



ПОВНИЙ ТЕКСТ

Ведель Яна Игоревна,
аспирантка Киевского национального университета имени Тараса Шевченко,
yana.vedel@gmail.com

Сандраков Геннадий Викторович,
доктор физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник
Киевского национального университета имени Тараса Шевченко, gsandrako@gmail.com

Семенов Владимир Викторович,
доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор кафедры Киевского национального университета имени Тараса Шевченко, semenov.volodya@gmail.com


СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

  1. Kassay G., Radulescu V.D. Equilibrium problems and applications. London: Academic Press, 2019. xx+419 p.

  2. Combettes P.L., Hirstoaga S.A. Equilibrium programming in Hilbert spaces. J. Nonlinear Convex Anal. 2005. Vol. 6. P. 117–136.

  3. Antipin A.S. Equilibrium programming: Proximal methods. Comput. Math. Math. Phys. 1997. Vol. 37. P. 1285–1296. https://doi.org/10.1134/S0965542507120044.

  4. Mastroeni G. On auxiliary principle for equilibrium problems. In: Daniele P. et al. (Eds.). Equilibrium problems and variational models. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. P. 289–298. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0239-1.

  5. Quoc T.D., Muu L.D., Hien N.V. Extragradient algorithms extended to equilibrium problems. Optimization. 2008. Vol. 57. P. 749–776. https://doi.org/10.1080/02331930601122876.

  6. Semenov V.V. On the parallel proximal decomposition method for solving the problems of convex optimization. Journal of Automation and Information Sciences. 2010. Vol. 42, Iss. 4. P. 13–18. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v42.i4.20.

  7. Lyashko S.I., Semenov V.V., Voitova T.A. Low-cost modification of Korpelevich’s methods for monotone equilibrium problems. Cybernetics and Systems Analysis. 2011. Vol. 47, N 4. P. 631–639. https://doi.org/10.1007/s10559-011-9343-1.

  8. Semenov V.V. Strongly convergent algorithms for variational inequality problem over the set of solutions the equilibrium problems. In: Zgurovsky M.Z. and Sadovnichiy V.A. (Eds.). Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. Springer International Publishing Switzerland, 2014. P. 131–146. https://doi.org/10.1007/978-3-319-03146-0_10.

  9. Lyashko S.I., Semenov V.V. A new two-step proximal algorithm of solving the problem of equilibrium programming. In: Goldengorin B. (Ed.). Optimization and Its Applications in Control and Data Sciences. Springer Optimization and Its Applications. Vol. 115. Cham: Springer, 2016. P. 315–325. https://doi.org/10.1007/978-3-319-42056-1_10.

  10. Chabak L., Semenov V., Vedel Y. A new non-euclidean proximal method for equilibrium problems. In: Chertov O., Mylovanov T., Kondratenko Y., Kacprzyk J., Kreinovich V., Stefanuk V. (Eds.). Recent Developments in Data Science and Intelligent Analysis of Information. ICDSIAI 2018. Advances in Intelligent Systems and Computing. Vol. 836. Cham: Springer, 2019. P. 50–58. https://doi.org/10.1007/978-3-319-97885-7_6.

  11. Colao V., Lopez G., Marino G., Martin-Marquez V. Equilibrium problems in Hadamard manifolds. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2012. Vol. 388. P. 61–77. https://doi.org/ 10.1016/j.jmaa.2011.11.001.

  12. Khatibzadeh H., Mohebbi V. Monotone and pseudo-monotone equilibrium problems in Hadamard spaces. Journal of the Australian Mathematical Society. 2019. P. 1–23. https://doi.org/ 10.1017/S1446788719000041.

  13. Khatibzadeh H., Mohebbi V. Approximating solutions of equilibrium problems in Hadamard spaces. Miskolc Mathematical Notes. 2019. Vol. 20, N 1. P. 281–297. https://doi.org/10.18514/MMN.2019.2361.

  14. Kinderlehrer D., Stampacchia G. An introduction to variational inequalities and their applications. New York: Academic Press, 1980. Russian transl., Moscow: Mir, 1983. 256 p.

  15. Sandrakov G.V. Homogenization of variational inequalities for non-linear diffusion problems in perforated domains. Izvestiya Mathematics. 2005. Vol. 69, Iss. 5. P. 1035–1059. http://dx.doi.org/ 10.1070/IM2005v069n05ABEH002287.

  16. Korpelevich G.M. An extragradient method for finding saddle points and for other problems. Matecon. 1976. Vol. 12, N 4. P. 747–756.

  17. Nemirovski A. Prox-method with rate of convergence O(1/T) for variational inequalities with Lipschitz continuous monotone operators and smooth convex-concave saddle point problems. SIAM J. Optim. 2004. Vol. 15, Iss. 1. P. 229–251. https://doi.org/10.1137/S1052623403425629.

  18. Denisov S.V., Semenov V.V., Stetsyuk P.I. Bregman extragradient method with monotone rule of step adjustment. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. Vol. 55, N 3. P. 377–383. https://doi.org/ 10.1007/s10559-019-00144-5.

  19. Stonyakin F.S. On the adaptive proximal method for a class of variational inequalities and related problems. Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN. 2019. Vol. 25, N 2. P. 185–197. https://doi.org/ 10.21538/0134-4889-2019-25-2-185-197.

  20. Stonyakin F.S., Vorontsova E.A., Alkousa M.S. New version of mirror prox for variational inequalities with adaptation to inexactness. In: Jaimovi M., Khachay M., Malkova V., Posypkin M. (Eds.). Optimization and Applications. OPTIMA 2019. Communications in Computer and Information Science. Vol 1145. Cham: Springer, 2020. P. 427–442. https://doi.org/10.1007/ 978-3-030-38603-0_31.

  21. Semenov V.V. A strongly convergent splitting method for systems of operator inclusions with monotone operators. Journal of Automation and Information Sciences. 2014. Vol. 46, Iss. 5. P. 45–56. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v46.i5.40.

  22. Semenov V.V. Hybrid splitting methods for the system of operator inclusions with monotone operators. Cybernetics and Systems Analysis. 2014. Vol. 50, N 5. P. 741–749. https://doi.org/ 10.1007/s10559-014-9664-y.

  23. Verlan D.A., Semenov V.V., Chabak L.M. A strongly convergent modified extragradient method for variational inequalities with non-Lipschitz operators. Journal of Automation and Information Sciences. 2015. Vol. 47, Iss. 7. P. 31–46. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v47.i7.40.

  24. Semenov V.V. Modified extragradient method with Bregman divergence for variational inequalities. Journal of Automation and Information Sciences. 2018. Vol. 50, Iss. 8. P. 26–37. https://doi.org/ 10.1615/JAutomatInfScien.v50.i8.30.

  25. Denisov S.V., Nomirovskii D.A., Rublyov B.V., Semenov V.V. Convergence of extragradient algorithm with monotone step size strategy for variational inequalities and operator equations. Journal of Automation and Information Sciences. 2019. Vol. 51, Iss. 6. P. 12–24. https://doi.org/ 10.1615/JAutomatInfScien.v51.i6.20.

  26. Popov L.D. A modification of the Arrow-Hurwicz method for search of saddle points. Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR. 1980. Vol, 28. Iss. 5. P. 845–848. https://doi.org/ 10.1007/BF01141092.

  27. Semenov V.V. A version of the mirror descent method to solve variational inequalities. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 2. P. 234–243. https://doi.org/10.1007/s10559-017-9923-9.

  28. Nomirovskii D.A., Rublyov B.V., Semenov V.V. Convergence of two-stage method with Bregman divergence for solving variational inequalities. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. Vol. 55, N 3. P. 359–368. https://doi.org/10.1007/s10559-019-00142-7.

  29. Bacak M. Convex analysis and optimization in Hadamard spaces. Berlin; Boston: De Gruyter, 2014. viii+185 p.

  30. Ведель Я.И., Сандраков Г.В., Семенов В.В., Чабак Л.М. Сходимость двухэтапного проксимального алгоритма для задачи о равновесии в пространствах Адамара. Кибернетика и системный анализ. 2020. T. 56, № 5. С. 115–125.

  31. Kirk W., Shahzad N. Fixed point theory in distance spaces. Cham: Springer, 2014. xii+173 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-10927-5.

  32. Burago D., Burago Yu., Ivanov S. A course in metric geometry. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 33. Providence: AMS, 2001. xiv+415 p.

  33. Gidel G., Berard H., Vincent P., Lacoste-Julien S. A variational inequality perspective on generative adversarial networks. arXiv preprint arXiv:1802.10551. 2018.
© 2020 Kibernetika.org. All rights reserved.