Cybernetics And Systems Analysis logo
Информация редакции Аннотации статей Авторы Архив
КИБЕРНЕТИКА И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ
Международний научно-теоретический журнал
УДК 517.988
Я.И. Ведель, Г.В. Сандраков, В.В. Семенов

АДАПТИВНЫЙ ДВУХЭТАПНЫЙ ПРОКСИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ЗАДАЧИ
О РАВНОВЕСИИ В ПРОСТРАНСТВАХ АДАМАРА

Аннотация. Рассмотрены задачи о равновесии в метрических пространствах Адамара. Для приближенного решения задач предложен и изучен новый адаптивный двухэтапный проксимальный алгоритм. В отличие от приме-няемых ранее правил выбора величины шага в предлагаемом алгоритме не проводятся вычисления значений бифункции в дополнительных точках и не требуется знания информации о величине липшицевых констант бифунк-ции. Для псевдомонотонных бифункций липшицевого типа доказана теоре-ма о слабой сходимости порожденных алгоритмом последовательностей. Предложенный алгоритм применим к псевдомонотонным вариационным не-равенствам в гильбертовых пространствах.

Ключевые слова: пространство Адамара, задача о равновесии, псевдомоно-тонность, двухэтапный проксимальный алгоритм, адаптивность, сходимость.



ПОЛНЫЙ ТЕКСТ

Ведель Яна Игоревна,
аспирантка Киевского национального университета имени Тараса Шевченко,
yana.vedel@gmail.com

Сандраков Геннадий Викторович,
доктор физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник
Киевского национального университета имени Тараса Шевченко, gsandrako@gmail.com

Семенов Владимир Викторович,
доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор кафедры Киевского национального университета имени Тараса Шевченко, semenov.volodya@gmail.com


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Kassay G., Radulescu V.D. Equilibrium problems and applications. London: Academic Press, 2019. xx+419 p.

  2. Combettes P.L., Hirstoaga S.A. Equilibrium programming in Hilbert spaces. J. Nonlinear Convex Anal. 2005. Vol. 6. P. 117–136.

  3. Antipin A.S. Equilibrium programming: Proximal methods. Comput. Math. Math. Phys. 1997. Vol. 37. P. 1285–1296. https://doi.org/10.1134/S0965542507120044.

  4. Mastroeni G. On auxiliary principle for equilibrium problems. In: Daniele P. et al. (Eds.). Equilibrium problems and variational models. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. P. 289–298. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0239-1.

  5. Quoc T.D., Muu L.D., Hien N.V. Extragradient algorithms extended to equilibrium problems. Optimization. 2008. Vol. 57. P. 749–776. https://doi.org/10.1080/02331930601122876.

  6. Semenov V.V. On the parallel proximal decomposition method for solving the problems of convex optimization. Journal of Automation and Information Sciences. 2010. Vol. 42, Iss. 4. P. 13–18. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v42.i4.20.

  7. Lyashko S.I., Semenov V.V., Voitova T.A. Low-cost modification of Korpelevich’s methods for monotone equilibrium problems. Cybernetics and Systems Analysis. 2011. Vol. 47, N 4. P. 631–639. https://doi.org/10.1007/s10559-011-9343-1.

  8. Semenov V.V. Strongly convergent algorithms for variational inequality problem over the set of solutions the equilibrium problems. In: Zgurovsky M.Z. and Sadovnichiy V.A. (Eds.). Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. Springer International Publishing Switzerland, 2014. P. 131–146. https://doi.org/10.1007/978-3-319-03146-0_10.

  9. Lyashko S.I., Semenov V.V. A new two-step proximal algorithm of solving the problem of equilibrium programming. In: Goldengorin B. (Ed.). Optimization and Its Applications in Control and Data Sciences. Springer Optimization and Its Applications. Vol. 115. Cham: Springer, 2016. P. 315–325. https://doi.org/10.1007/978-3-319-42056-1_10.

  10. Chabak L., Semenov V., Vedel Y. A new non-euclidean proximal method for equilibrium problems. In: Chertov O., Mylovanov T., Kondratenko Y., Kacprzyk J., Kreinovich V., Stefanuk V. (Eds.). Recent Developments in Data Science and Intelligent Analysis of Information. ICDSIAI 2018. Advances in Intelligent Systems and Computing. Vol. 836. Cham: Springer, 2019. P. 50–58. https://doi.org/10.1007/978-3-319-97885-7_6.

  11. Colao V., Lopez G., Marino G., Martin-Marquez V. Equilibrium problems in Hadamard manifolds. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2012. Vol. 388. P. 61–77. https://doi.org/ 10.1016/j.jmaa.2011.11.001.

  12. Khatibzadeh H., Mohebbi V. Monotone and pseudo-monotone equilibrium problems in Hadamard spaces. Journal of the Australian Mathematical Society. 2019. P. 1–23. https://doi.org/ 10.1017/S1446788719000041.

  13. Khatibzadeh H., Mohebbi V. Approximating solutions of equilibrium problems in Hadamard spaces. Miskolc Mathematical Notes. 2019. Vol. 20, N 1. P. 281–297. https://doi.org/10.18514/MMN.2019.2361.

  14. Kinderlehrer D., Stampacchia G. An introduction to variational inequalities and their applications. New York: Academic Press, 1980. Russian transl., Moscow: Mir, 1983. 256 p.

  15. Sandrakov G.V. Homogenization of variational inequalities for non-linear diffusion problems in perforated domains. Izvestiya Mathematics. 2005. Vol. 69, Iss. 5. P. 1035–1059. http://dx.doi.org/ 10.1070/IM2005v069n05ABEH002287.

  16. Korpelevich G.M. An extragradient method for finding saddle points and for other problems. Matecon. 1976. Vol. 12, N 4. P. 747–756.

  17. Nemirovski A. Prox-method with rate of convergence O(1/T) for variational inequalities with Lipschitz continuous monotone operators and smooth convex-concave saddle point problems. SIAM J. Optim. 2004. Vol. 15, Iss. 1. P. 229–251. https://doi.org/10.1137/S1052623403425629.

  18. Denisov S.V., Semenov V.V., Stetsyuk P.I. Bregman extragradient method with monotone rule of step adjustment. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. Vol. 55, N 3. P. 377–383. https://doi.org/ 10.1007/s10559-019-00144-5.

  19. Stonyakin F.S. On the adaptive proximal method for a class of variational inequalities and related problems. Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN. 2019. Vol. 25, N 2. P. 185–197. https://doi.org/ 10.21538/0134-4889-2019-25-2-185-197.

  20. Stonyakin F.S., Vorontsova E.A., Alkousa M.S. New version of mirror prox for variational inequalities with adaptation to inexactness. In: Jaimovi M., Khachay M., Malkova V., Posypkin M. (Eds.). Optimization and Applications. OPTIMA 2019. Communications in Computer and Information Science. Vol 1145. Cham: Springer, 2020. P. 427–442. https://doi.org/10.1007/ 978-3-030-38603-0_31.

  21. Semenov V.V. A strongly convergent splitting method for systems of operator inclusions with monotone operators. Journal of Automation and Information Sciences. 2014. Vol. 46, Iss. 5. P. 45–56. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v46.i5.40.

  22. Semenov V.V. Hybrid splitting methods for the system of operator inclusions with monotone operators. Cybernetics and Systems Analysis. 2014. Vol. 50, N 5. P. 741–749. https://doi.org/ 10.1007/s10559-014-9664-y.

  23. Verlan D.A., Semenov V.V., Chabak L.M. A strongly convergent modified extragradient method for variational inequalities with non-Lipschitz operators. Journal of Automation and Information Sciences. 2015. Vol. 47, Iss. 7. P. 31–46. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v47.i7.40.

  24. Semenov V.V. Modified extragradient method with Bregman divergence for variational inequalities. Journal of Automation and Information Sciences. 2018. Vol. 50, Iss. 8. P. 26–37. https://doi.org/ 10.1615/JAutomatInfScien.v50.i8.30.

  25. Denisov S.V., Nomirovskii D.A., Rublyov B.V., Semenov V.V. Convergence of extragradient algorithm with monotone step size strategy for variational inequalities and operator equations. Journal of Automation and Information Sciences. 2019. Vol. 51, Iss. 6. P. 12–24. https://doi.org/ 10.1615/JAutomatInfScien.v51.i6.20.

  26. Popov L.D. A modification of the Arrow-Hurwicz method for search of saddle points. Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR. 1980. Vol, 28. Iss. 5. P. 845–848. https://doi.org/ 10.1007/BF01141092.

  27. Semenov V.V. A version of the mirror descent method to solve variational inequalities. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 2. P. 234–243. https://doi.org/10.1007/s10559-017-9923-9.

  28. Nomirovskii D.A., Rublyov B.V., Semenov V.V. Convergence of two-stage method with Bregman divergence for solving variational inequalities. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. Vol. 55, N 3. P. 359–368. https://doi.org/10.1007/s10559-019-00142-7.

  29. Bacak M. Convex analysis and optimization in Hadamard spaces. Berlin; Boston: De Gruyter, 2014. viii+185 p.

  30. Ведель Я.И., Сандраков Г.В., Семенов В.В., Чабак Л.М. Сходимость двухэтапного проксимального алгоритма для задачи о равновесии в пространствах Адамара. Кибернетика и системный анализ. 2020. T. 56, № 5. С. 115–125.

  31. Kirk W., Shahzad N. Fixed point theory in distance spaces. Cham: Springer, 2014. xii+173 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-10927-5.

  32. Burago D., Burago Yu., Ivanov S. A course in metric geometry. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 33. Providence: AMS, 2001. xiv+415 p.

  33. Gidel G., Berard H., Vincent P., Lacoste-Julien S. A variational inequality perspective on generative adversarial networks. arXiv preprint arXiv:1802.10551. 2018.
© 2020 Kibernetika.org. All rights reserved.