Cybernetics And Systems Analysis logo
Інформація редакції Аннотації статей Автори Архів
Кібернетика та Системний Аналіз
Міжнародний Науково-Теоретичний Журнал
Том 58 >>> № 5 ВЕРЕСЕНЬ — ЖОВТЕНЬ 2022
-->

УДК 517.988

В.В. СЕМЕНОВ,
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, Україна,
 semenov.volodya@gmail.com

С.В. ДЕНИСОВ,
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, Україна,
 sireukr@gmail.com

Г.В. САНДРАКОВ,
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, Україна,
 gsandrako@gmail.com

О.С. ХАРЬКОВ,
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, Україна,
 olehharek@gmail.com


ЗБІЖНІСТЬ МЕТОДУ ОПЕРАТОРНОЇ ЕКСТРАПОЛЯЦІЇ
ДЛЯ ВАРІАЦІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ В БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ

Анотація. Досліджено нові ітераційні алгоритми для розв’язання варіаційних нерівностей в рівномірно опуклих Банахових просторах. Перший алгоритм — модифікація методу «forward-reflected-backward algorithm», що використовує узагальнену проєкцію Альбера замість метричної. Другий алгоритм є адаптивним варіантом першого, де використовується монотонне правило поновлення величини кроку, що не вимагає знання Ліпшицевих констант та лінійного пошуку. Для варіаційних нерівностей з монотонними, Ліпшицевими операторами, що діють у 2-рівномірно опуклому та рівномірно гладкому Банаховому просторі, доведено теореми про слабку збіжність методів. Також для першого алгоритму доведено оцінку ефективності в термінах функції зазору.

Ключові слова: варіаційна нерівність, монотонний оператор, узагальнена проєкція Альбера, 2-рівномірно опуклий Банахів простір, рівномірно гладкий Банахів простір, метод операторної екстраполяції, слабка збіжність, функція зазору.


ПОВНИЙ ТЕКСТ

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

  1. Nagurney A. Network economics: A variational inequality approach. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. 325 p.

  2. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. Москва: Мир, 1971. 371 с.

  3. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. Москва: Мир, 1983. 256 c.

  4. Sandrakov G.V. Homogenization of variational inequalities for problems with regular obstacles. Doklady Akademii Nauk. 2004. Vol. 397, Iss. 2. P. 170–173.

  5. Sandrakov G.V. Homogenization of variational inequalities for non-linear diffusion problems in perforated domains. Izvestiya Mathematics. 2005. Vol. 69, Iss. 5. P. 1035–1059. http://dx.doi.org/10.1070/IM2005v069n05ABEH002287 .

  6. Lyashko S.I., Klyushin D.A., Nomirovsky D.A., Semenov V.V. Identification of age-structured contamination sources in ground water. Boucekkine R., Hritonenko N., Yatsenko Y. (Еds.). Optimal Control of Age-Structured Populations in Economy, Demography, and the Environment. London; New York: Routledge, 2013. P. 277–292.

  7. Facchinei F., Pang J.-S. Finite-dimensional variational inequalities and complementarily problem. New York: Springer, 2003. Vol. 2. 666 p.

  8. Gidel G., Berard H., Vincent P., Lacoste-Julien S. A variational inequality perspective on generative adversarial networks. arXiv: 1802.10551. 2018.

  9. Nemirovski A. Prox-method with rate of convergence O(1/T) for variational inequalities with Lipschitz continuous monotone operators and smooth convex-concave saddle point problems. SIAM Journal on Optimization. 2004. Vol. 15. P. 229–251.

  10. Wang J.-K., Abernethy J., Levy K.Y. No-regret dynamics in the Fenchel game: A unified framework for algorithmic convex optimization. arXiv: 2111.11309. 2021.

  11. Korpelevich G.M. An extragradient method for finding saddle points and for other problems. Matecon. 1976. Vol. 12, N 4. P. 747–756.

  12. Tseng P. A modified forward-backward splitting method for maximal monotone mappings. SIAM Journal on Control and Optimization. 2000. Vol. 38. P. 431–446.

  13. Censor Y., Gibali A., Reich S. The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space. Journal of Optimization Theory and Applications. 2011. Vol. 148. P. 318-335. https://doi.org/10.1007/s10957-010-9757-3.

  14. Semenov V.V. Modified extragradient method with Bregman divergence for variational inequalities. Journal of Automation and Information Sciences. 2018. Vol. 50, Iss. 8. P. 26–37. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v50.i8.30.

  15. Gorbunov E., Loizou N., Gidel G. Extragradient method: O(1/K) last-iterate convergence for monotone variational inequalities and connections with cocoercivity. arXiv: 2110.04261. 2021. https://doi.org/10.48550/arXiv.2110.04261.

  16. Denisov S.V., Nomirovskii D.A., Rublyov B.V., Semenov V.V. Convergence of extragradient algorithm with monotone step size strategy for variational inequalities and operator equations. Journal of Automation and Information Sciences. 2019. Vol. 51, Iss. 6. P. 12–24. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v51.i6.20.

  17. Bach F., Levy K.Y. A Universal algorithm for variational inequalities adaptive to smoothness and noise. arXiv: 1902.01637. 2019 .

  18. Vedel Y., Semenov V. Adaptive extraproximal algorithm for the equilibrium problem in Hadamard spaces. Olenev N., Evtushenko Y., Khachay M., Malkova V. (Eds.). Optimization and Applications. OPTIMA 2020. Lecture Notes in Computer Science. Cham: Springer, 2020. Vol. 12422. P. 287–300. https://doi.org/10.1007/978-3-030-62867-3_21.

  19. Popov L.D. A modification of the Arrow-Hurwicz method for search of saddle points. Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR. 1980. Vol. 28, Iss. 5. P. 845–848.

  20. Malitsky Yu. V., Semenov V.V. An extragradient algorithm for monotone variational inequalities. Cybernetics and Systems Analysis. 2014. Vol. 50, Iss. 2. P. 271–277. https://doi.org/10.1007/s10559-014-9614-8.

  21. Lyashko S.I., Semenov V.V. A new two-step proximal algorithm of solving the problem of equilibrium programming. Goldengorin B. (Ed.). Optimization and Its Applications in Control and Data Sciences. Springer Optimization and Its Applications. Cham: Springer, 2016. Vol. 115. P. 315–325. https://doi.org/10.1007/978-3-319-42056-1_10.

  22. Chabak L., Semenov V., Vedel Y. A new non-euclidean proximal method for equilibrium problems. Chertov O., Mylovanov T., Kondratenko Y., Kacprzyk J., Kreinovich V., Stefanuk V. (Eds.). Recent Developments in Data Science and Intelligent Analysis of Information. ICDSIAI 2018. Advances in Intelligent Systems and Computing. Cham: Springer, 2019. Vol. 836. P. 50–58. https://doi.org/10.1007/978-3-319-97885-7_6 .

  23. Nomirovskii D.A., Rublyov B.V., Semenov V.V. Convergence of two-stage method with bregman divergence for solving variational inequalities. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. Vol. 55, Iss. 3. P. 359–368. https://doi.org/10.1007/s10559-019-00142-7.

  24. Vedel Y.I., Denisov S.V., Semenov V.V. An adaptive algorithm for the variational inequality over the set of solutions of the equilibrium problem. Cybernetics and Systems Analysis. 2021. Vol. 57, Iss. 1. P. 91–100. https://doi.org/10.1007/s10559-021-00332-2 .

  25. Semenov V.V., Denisov S.V., Kravets A.V. Adaptive two-stage bregman method for variational inequalities. Cybernetics and Systems Analysis. 2021. Vol. 57, Iss. 6. P. 959–967. https://doi.org/10.1007/s10559-021-00421-2 .

  26. Vedel Y.I., Sandrakov G.V., Semenov V.V. An adaptive two-stage proximal algorithm for equilibrium problems in Hadamard spaces. Cybernetics and Systems Analysis. 2020. Vol. 56, Iss. 6. P. 978–989. https://doi.org/10.1007/s10559-020-00318-6.

  27. Malitsky Y., Tam M.K. A forward-backward splitting method for monotone inclusions without cocoercivity. SIAM Journal on Optimization. 2020. Vol. 30. P. 1451–1472. https://doi.org/10.1137/18M1207260 .

  28. Alber Y., Ryazantseva I. Nonlinear ill posed problems of monotone type. Dordrecht: Springer, 2006. 410 p.

  29. Alber Y.I. Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications. Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type. New York: Dekker, 1996. Vol. 178. P. 15–50.

  30. Iiduka H., Takahashi W. Weak convergence of a projection algorithm for variational inequalities in a Banach space. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2008. Vol. 339, N 1. P. 668–679. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.07.019.

  31. Cholamjiak P., Shehu Y. Inertial forward-backward splitting method in Banach spaces with application to compressed sensing. Appl. Math. 2019. Vol. 64. P. 409–435. href="https://doi.org/10.21136/AM.2019.0323-18.

  32. Shehu Y. Convergence results of forward-backward algorithms for sum of monotone operators in Banach spaces. Results Math. 2019. Vol. 74. https://doi.org/10.1007/s00025-019-1061-4.

  33. Shehu Y. Single projection algorithm for variational inequalities in Banach spaces with application to contact problem. Acta Math. Sci. 2020. Vol. 40. P. 1045–1063. https://doi.org/10.1007/s10473-020-0412-2.

  34. Yang J., Cholamjiak P., Sunthrayuth P. Modified Tseng’s splitting algorithms for the sum of two monotone operators in Banach spaces. AIMS Mathematics. 2021. Vol. 6, Iss. 5. P. 4873–4900. https://doi.org/10.3934/math.2021286 .

  35. Семенов В.В., Денисов С.В. Збіжність методу екстраполяції з минулого для варіаційних нерівностей в рівномірно опуклих Банахових просторах. Кібернетика та системний аналіз. 2022. Т. 58, № 4. С. 82–93.

  36. Vedel Y., Semenov V., Denisov S. A novel algorithm with self-adaptive technique for solving variational inequalities in Banach spaces. Olenev N.N., Evtushenko Y.G., Jaimovi M., Khachay M., Malkova V. (Eds.). Advances in Optimization and Applications. OPTIMA 2021. Communications in Computer and Information Science. Cham: Springer, 2021. Vol 1514. P. 50–64. https://doi.org//10.1007/978-3-030-92711-0_4 .

  37. Beauzamy B. Introduction to Banach spaces and their geometry. Amsterdam: North-Holland, 1985. 307 p.

  38. Aoyama K., Kohsaka F. Strongly relatively nonexpansive sequences generated by firmly nonexpansive-like mappings. Fixed Point Theory Appl. 2014. P. 95. https://doi.org/10.11861687-1812-2014-95.

  39. Xu H.K. Inequalities in Banach spaces with applications. Nonlinear Anal. 1991. Vol. 16, Iss. 12. P. 1127–1138.




Інформація редакції Аннотації статей Автори Архів
Журнал Тематичні Розділи Редакція Редакційна колегія Приклади документів Передплата Контакти
© 2022 Kibernetika.org. All rights reserved.