УДК 621.391.15:519.7
А.В. БЕССАЛОВ,
Київський університет імені Бориса Грінченка, Київ, Україна,
a.bessalov@kubg.edu.ua
С.В. АБРАМОВ,
Київський університет імені Бориса Грінченка, Київ, Україна,
s.abramov.asp@kubg.edu.ua
ОСОБЛИВІ ВЛАСТИВОСТІ ЗАКОНУ ДОДАВАННЯ ТОЧОК
НЕЦИКЛІЧНИХ КРИВИХ ЕДВАРДСА
Анотація. Проведено аналіз особливих властивостей двох класів квадратичних і скручених кривих Едвардса,
що враховують їхню нециклічну структуру, а також неповноту закону додавання точок.
Обидва класи кривих містять особливі точки 2-го і 4-го порядків за однією нескінченною координатою,
що породжують точки з невизначеністю 0 / 0 в одній з координат суми, які названо нечіткими точками.
Сформульовано і доведено п’ять теорем, що дають змогу розв’язати ці невизначеності і задати умови,
за якими закон додавання точок у таких класах кривих є повним.
Ключові слова: крива в узагальненій формі Едвардса, повна крива Едвардса, скручена крива Едвардса, квадратична крива Едвардса, порядок кривої, порядок точки, особлива точка, нечітка точка, колесо точок, квадратичний лишок, квадратичний нелишок.
ПОВНИЙ ТЕКСТ
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
- Castryck W., Lange T., Martindale C., Panny L., Renes J. CSIDH: An efficient post-quantum commutative group action. In: Advances in Cryptology (ASIACRYPT 2018). Peyrin T., Galbraith S. (Eds.). Cham: Springer International Publishing, 2018. P. 395–427.
- Kim S., Yoon K., Park Y.-H., Hong S. Optimized method for computing odd-degree isogenies on Edwards curves. Security and Communication Networks. 2019.
- Bessalov A., Sokolov V., Skladannyi P. Modeling of 3- and 5-isogenies of supersingular Edwards curves. Proc. of the 2nd Intern. Workshop on Modern Machine Learning Technologies and Data Science (MoMLeT&DS’2020). Aachen: CEUR, 2020. Vol. 2631, N I. P. 30–39.
- Bessalov A.V. How to construct CSIDH on quadratic and twisted Edwards curves. Кібербезпека: освіта, наука, техніка. 2022. T. 3, № 15. С. 148–163.
- Bernstein D.J., Lange T. Faster addition and doubling on Elliptic curves. Advances in Cryptology — ASIACRYPT’2007: Proc. 13th Intern. Conf. on the Theory and Application of Cryptology and Information Security (December 2–6, 2007, Kuching, Malaysia). Lect. Notes Comp. Sci. Berlin: Springer, 2007. Vol. 4833. P. 29–50.
- Bernstein D.J., Birkner P., Joye M., Lange T., Peters C. Twisted Edwards curves. In: AFRICACRYPT 2008. LNCS. 2008. Vol. 5023. P. 389–405.
- Бессалов А.В. Эллиптические кривые в форме Эдвардса и криптография. Киев: Политехника, 2017. 272 с.
- Bessalov A.V., Tsygankova O.V. Interrelation of families of points of high order on the Edwards curve over a prime field. Problems of Information Transmission. 2015. Vol. 51, Iss. 4. P. 391–397.
- Bessalov A.V., Tsygankova O.V. Number of curves in the generalized Edwards form with minimal even cofactor of the curve order. Problems of Information Transmission. 2017. Vol. 53, Iss. 1. P. 92–101. https://doi.org/10.1134/S0032946017010082.
- Bessalov A.V., Kovalchuk L.V. Supersingular twisted Edwards curves over prime fields. I. Supersingular twisted Edwards curves with j-invariants equal to zero and 123. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. Vol. 55, N 3. P. 347–353.
- Bessalov A.V., Kovalchuk L.V. Supersingular twisted Edwards curves over prime fields. II. Supersingular twisted Edwards curves with the j-invariant equal to 663. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. Vol. 55, N 5. P. 731–741.
- Washington L.C. Elliptic curves. Number theory and cryptography. 2nd ed. CRCPress, 2008.
