УДК 519.6
О.М. ХІМІЧ
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, Україна,
khimich505@gmail.com
О.В. ПОПОВ
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, Україна,
alex50popov@gmail.com
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕКОРЕКТНИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
НА ВИСОКОПРОДУКТИВНИХ ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
Анотація. Запропоновано методику ефективного дослідження і розв’язування умовно коректних задач, які мають єдиний розв’язок на підпросторі. Обґрунтовано використання дискретної скінченно-елементної моделі на всьому просторі для отримання єдиного розв’язку на підпросторі вихідної варіаційної задачі. Для знаходження нормального псевдорозв’язку дискретної задачі (системи лінійних алгебраїчних рівнянь з розрідженою симетричною напіввизначеною матрицею) запропоновано метод триетапної регуляризації. Цей метод дає змогу отримати наближення до цих розв’язків з наперед заданою точністю. Розроблено ефективні адаптивні високопродуктивні алгоритми зазначеного методу для розв’язування на сучасних комп’ютерах з паралельною організацією обчислень систем лінійних алгебраїчних рівнянь з розрідженими симетричними напіввизначеними матрицями.
Ключові слова: високопродуктивні обчислення, змінне комп’ютерне середовище, метод скінченних елементів, метод триетапної регуляризації, перша основна задача теорії пружності.
повний текст
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
- Strang G., Fix G.J. An analysis of the finite element method. New York: Prentice-Hall, 1973. 306 p.
- Zienkiewicz O.C., Morgan K. Finite Elements and Approximation. New York: A Wiley-Interscience Publication, 1983. 320 p.
- Gorodetsky A.S., Evzerov I.D. Computer models of structures [in Russian]. Kyiv: FACT, 2007. 394 с.
- Molchanov I.N., Galba E.F. Variational Statements of the Static Problem of the Theory of Elasticity for Given External Forces. Ukr. math. journal. 1991. Vol. 43, N 2. P. 158–161.
- Molchanov I.N., Levchenko I.S., Fedonyuk N.N., Khimich A.N., Chistyakova T.V. Numerical simulation of stress concentration in an elastic half-space with a two-layer inclusion. Prikladnaya mekhanika. 2002. Vol. 38, N 3. P. 65–71.
- Khimich A.N., Yakovlev M.F. On the solution of systems with matrices of incomplete rank. Computer mathematics. Coll. scientific works. 2003. Iss. 1. P. 1–15.
- Popov A.V., Khimich A.N. Research and solution of the first main problem of the theory of elasticity. Computer mathematics. Coll. scientific works.. 2003.Iss. 2. P. 105–114.
- Popov O.V. On an effective method for solving incorrect problems with sparse matrices. Theory of optimal solutions. Coll. of science works. 2013. N 12. P. 77–81.
- Khimich A.N., Molchanov I.N., Popov A.V., Chistyakova T.V., Yakovlev M.F. Parallel algorithms for solving problems of computational mathematics [in Russian]. Kyiv: Nauk. Dumka, 2008. 248 p.
- Khimich A.N., Popov A.V., Polyanko V.V. Algorithms of parallel computations for linear algebra problems with irregularly structured matrices. Cybernetics and Systems Analysis. 2011. Vol. 47, Iss. 6. P. 973–985. https://doi.org/10.1007/s10559-011-9377-4.
- Popov O.V. On parallel algorithms for factorization of sparse matrices. Kompʹyuternaya matematyka. Sb. nauch. trudov. 2013. Iss. 2. P. 115–124. URI: http://dspace.nbuv. gov.ua/handle/123456789/84755" .
- Timoshenko S.P., Goodier J.N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1970.
- Mikhlin S.G. Variational methods in mathematical physics [in Russian]. Moscow: Nauka, 1970. 454 p.
- Galba E.F., Gladkiy A.V., Khimich A.N., Yakovlev M.F. On the well-posedness of the first main problem of elasticity theory on a subspace. Computer mathematics. Coll. scientific works. 2002. Iss. 1. P. 54–62.
- Siarlet P.G. The Finite Element Method for Ellipticp Problems. North Holland, 1978. 529 p.
- Khimich A.N. Perturbation bounds for the least squares problem. Cybernetics and Systems Analysis. 1996. Vol. 32, Iss. 3. P. 434–436. https://doi.org/10.1007/BF02366509.
- Khimich A.N. Estimates of the total error in solving systems of linear algebraic equations for matrices of arbitrary rank. Computer mathematics. Coll. scientific works. 2002. Iss. 2. P. 41–49.
- Morozov V.A. Regularization Methods for Unstable Problems [in Russian]. Moscow: Moscow University Publishing House, 1987. 217 p.
- Voevodin V.V., Kuznetsov Yu.A. Matrices and calculations [in Russian]. Moscow: Nauka, 1984. 318 с.
- Popov A.V., Chistyakov O.V. On the effectiveness of algorithms with multilevel parallelism. Fizyko-matematychne modelyuvannya ta informatsiyni tekhnolohii. 2021. Iss. 33. С. 133–137. https://doi.org/10.15407/fmmit2021.33.133.
- Khimich O.M., Sydoruk V.A. The use of mixed bit rate in mathematical modeling. Mathematical and computer modeling. Series: Physical and mathematical sciences. 2019. Iss. 19. P. 180–187.
- Khimich О.М., Chistyakova T.V, Sidoruk V.A., Ershov P.S. Adaptive computer technologies for solving problems of computational and applied mathematics. Cybernetics and Systems Analysis. 2021. Vol. 57, N 6. P. 990–997. https://doi.org/10.1007/s10559-021-00424-z .
- Khimich O.M., Sydoruk V.A. A tiling hybrid algorithm for the factorization of structurally symmetric matrices. Theory of optimal solutions. Coll. of science works. 2017. N 2017. P. 125–132.
- George A., J. Liu. Numerical solution of large sparse systems of equations [Russian translation]. Moscow: Mir, 1984. 334 p.
