DOI
10.34229/KCA2522-9664.25.5.6
УДК 517.9:519.6
В.М. БУЛАВАЦЬКИЙ
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, Україна,
v_bulav@ukr.net
В.О. БОГАЄНКО
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, Україна,
sevab@ukr.net
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДРОБОВО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ
ДИНАМІКИ КОМП’ЮТЕРНИХ ВІРУСІВ НА ОСНОВІ МОДЕЛІ
З ПОХІДНИМИ КАПУТО КУСКОВО СТАЛОГО ПОРЯДКУ
Анотація. Розглянуто узагальнений дробово-диференціальний аналог відомих моделей динаміки поширення комп’ютерних вірусів, побудований з використанням похідних Капуто кусково сталого порядку. Розроблено комбіновану методику одержання числово-аналітичного розв’язку відповідної задачі Коші для нелінійної системи дробово-диференціальних рівнянь кусково сталого порядку. Наведено результати якісного аналізу умов коректності цієї задачі Коші, аналізу стійкості задачі за Уламом–Хаєрсом та деякі результати комп’ютерного моделювання дробової динаміки поширення комп’ютерних вірусів на основі розглянутої моделі комп’ютерної вірусології.
Ключові слова: динаміка поширення комп’ютерних вірусів, математичне та комп’ютерне моделювання, дробово-диференціальні математичні моделі, похідні Капуто кусково сталого порядку, нелінійні моделі, якісний аналіз, UH-стійкість.
повний текст
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
- 1. Yang L.-X., Yang X. The effect of infected external computers on the spread of viruses: A compartment modeling study. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2013. Vol. 392, Iss. 24. P. 6523–6535. https://doi.org/10.1016/j.physa.2013.08.024.
- 2. Piqueira J.R.C., Araujo V.O. A modified epidemiological model for computer viruses. Applied Mathematics and Computation. 2009. Vol. 213, Iss. 2. P. 355–360. https://doi.org/10.1016/j.amc.2009.03.023.
- 3. Ren J., Yang X., Yang L.-X., Xu Y., Yang F. A delayed computer virus propagation model and its dynamics. Chaos, Solitons & Fractals. 2012. Vol. 45, Iss. 1. P. 74–79. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2011.10.003.
- 4. Ren J., Yang X., Zhu Q., Yang L.-X., Zhang C. A novel computer virus model and its dynamics. Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2012. Vol. 13, Iss. 1. P. 376–384. https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2011.07.048.
- 5. Piqueira J.R.C., Navarro B.F., Monteiro L.H.A. Epidemiological models applied to viruses in computer networks. Journal of Computer Science. 2005. Vol. 1, N 1. P. 31–34. https://doi.org/10.3844/jcssp.2005.31.34.
- 6. Han X., Tan Q. Dynamical behavior of computer virus on Internet. Applied Mathematics and Computation. 2010. Vol. 217, Iss. 6. P. 2520–2526. https://doi.org/10.1016/j.amc.2010.07.064.
- 7. Gan C., Yang X., Zhu Q. Propagation of computer virus under the influences of infected external computers and removable storage media. Modeling and analysis. Nonlinear Dynamics. 2014. Vol. 78, N 2. P. 1349–1356. https://doi.org/10.1007/s11071-014-1521-z.
- 8. Gan C., Yang X., Liu W., Zhu Q. A propagation model of computer virus with nonlinear vaccination probability. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2014. Vol. 19, Iss. 1. P. 92–100. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2013.06.018.
- 9. Yang L.-H., Yang X., Liu J., Zhu Q., Gan C. Epidemics of computer viruses: A complex-network approach. Applied Mathem. and Comput. 2013. Vol. 219, Iss. 16. P. 8705–8717. https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.02.031.
- 10. Zhu Q., Yang X., Yang L.-H., Zhang X. A mixing propagation model of computer viruses and countermeasures. Nonlinear Dynamics. 2013. Vol. 73, N 3. P. 1433–1441. https://doi.org/10.1007/s11071-013-0874-z.
- 11. Gan C., Yang X., Zhu Q., Jin J., He L. The spread of computer virus under the effect of external computers. Nonlinear Dynamics. 2013. Vol. 73, N 3. P. 1615–1620. https://doi.org/10.1007/s11071-013-0889-5.
- 12. Pinto C.M.A., Tenreiro Machado J.A. Fractional dynamics of computer virus propagation. Mathematical Problems in Engineering. 2014. Vol. 2014. Article number 476502. https://doi.org/10.1155/2014/476502.
- 13. Podlubny I. Fractional differential equations. New York: Elsevier, 1998. 340 p. URL: https://books.google.com.ua/books?id=K5FdXohLto0C.
- 14. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p. URL: https://www.sciencedirect.com/bookseries/north-holland-mathematics-studies/vol/204/suppl/C.
- 15. Bulavatskiy V.M. Some modeling problems of fractional-differential geofiltrational dynamics within the framework of generalized mathematical models. Journal of Automation and Information Science. 2016. Vol. 48, Iss. 5. P. 27–41. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v48.i5.30.
- 16. Богаєнко В.О., Булавацький В.М. Чисельно-аналітичне розв’язання однієї задачі моделювання дробово-диференційної динаміки комп’ютерних вірусів. Міжнародний науково-технічний журнал «Проблеми керування та інформатики». 2022. Т. 67, № 1. С. 56–65. https://doi.org/10.34229/1028-0979-2022-1-6.
- 17. Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V. Mittag-Leffler functions, related topics and applications. Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2014. 443 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-43930-2.
- 18. Diethelm K., Ford N.J., Freed A.D. Detailed error analysis for a fractional Adams method. Numer. Algorithms. 2004. Vol. 36, N 1. P. 31–52. https://doi.org/10.1023/B:NUMA.0000027736.85078.be.
- 19. Li C., Tao C. On the fractional Adams method. Comput. and Mathemat. with Applications. 2009. Vol. 58, Iss. 8. P. 1573–1588. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2009.07.050.
- 20. Abramovitz M., Stegun I.A. Handbook of mathematical functions. New York: Dover Publications, 1965. 831 p. URL: https://books.google.com.ua/books?id=KiPCAgAAQBAJ.
- 21. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elements of the theory of functions and functional analysis. New York: Dover Publications, 1999. 288 p. URL: https://books.google.com.ua/books?id=OyWeDwfQmeQC.
- 22. Granas A., Dugudji J. Fixed point theory. Springer, New York, 2003. 690 p. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21593-8.
- 23. Almalahi M.A., Panchal S.K. Existence and stability results of relaxation fractional differential equations with Hilfer–Katugampola fractional derivative. Adv. Theory Nonlin. Anal. Appl. 2020. Vol. 4, N 4. P. 299–315. URL: https://atnaea.org/index.php/journal/article/view/138.
- 24. Harikrishnan S., Kanagarajan K., Vivek D. Some existence and stability results for integro-differential equations by Hilfer-Katugampola fractional derivative. Palestine Journal of Mathematics. 2020. Vol. 9, Iss. 1. P. 254–262. URL: https://pjm.ppu.edu/paper/640.
- 25. Abbas S., Benchohra M., Sivasundaram S. Dynamics and Ulam stability for Hilfer type fractional differential equations. Nonlinear. Stud. 2016. Vol. 23, N 4. P. 627–637. URL: https://www.nonlinearstudies.com/index.php/nonlinear/article/view/1413.
- 26. Wang J., Zhou Y., Medved M. Existence and stability of fractional differential equations with Hadamard derivative. Topol. Methods in Nonlinear Anal. 2013. Vol. 41, N 1. P. 113–133. URL: https://www.tmna.ncu.pl/static/published/2013/v41n1-05.pdf.
- 27. Ye H., Gao J., Ding Y. A generalized Gronwall inequality and its application to a fractional differential equation. J. Math. Anal. Approx. Theory. 2007. Vol. 328, Iss. 2. P. 1075–1081. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2006.05.061.
- 28. Zada M.B., Rashid H., Shah K., Abdeljawad T. Study of fractional variable order COVID-19 environmental transformation model. Open Physics. 2023. Vol. 21, N 1. P. 1–9. https://doi.org/10.1515/phys-2023-0123.