КіСА | Зміст

Том 62 >>> № 1 СІЧЕНЬ — ЛЮТИЙ 2026

-->

УДК 519.2

М.І. ШЛЕЗІНГЕР
Інститут інформаційних технологій та систем НАН України, Київ, Україна,
schles@irtc.org.ua

Є.В. ВОДОЛАЗСЬКИЙ
Інститут інформаційних технологій та систем НАН України, Київ, Україна,
waterlaz@gmail.com

АСИМЕТРИЧНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ НЕРІВНОСТІ ЧЕБИШОВА

Анотація. Розглянуто сімейство узагальнень нерівності Чебишова. Основну увагу приділено асиметричним випадкам, коли область промаху, що становить інтерес, не є симетричною відносно математичного сподівання. Добре відомі результати Кантеллі та Зельберга розглянуто як природні розширення класичної оцінки Чебишова. Запропоновано узагальнений підхід на основі методів лінійного програмування, який забезпечує наочну геометричну інтерпретацію та дає змогу стисло отримувати відповідні нерівності. Цей підхід демонструє універсальність лінійного програмування у формулюванні ймовірнісних оцінок за різних типів обмежень.

Ключові слова: нерівність Чебишова, нерівність Кантеллі, нерівність Зельберга, ймовірнісні оцінки.

повний текст

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Tchebichef P. Des valeurs moyennes. Journal de Pures et 2. 1867. Vol. 12. P. 177–184.
2. Durrett R. Probability: Theory and examples. Cambridge University Press, 2019. 430 p. https://doi.org/10.1017/ 9781108591034.
3. Stoikova L.S. Generalized Chebyshev inequalities and their application in the mathematical theory of reliability. Cybernetics and Systems Analysis. 2010. Vol. 46, N 3. P. 472–476. https://doi.org/10.1007/s10559-010-9221-2.
4. Stoikova L.S., Kovalchuk L.V. Exact estimates for some linear functionals of unimodal distribution functions under incomplete information. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. Vol. 55, N 6. P. 914–925. https://doi.org/10.1007/s10559-019-00201-z.
5. Marshall A.W., Olkin I. Multivariate Chebyshev inequalities. The Annals of Mathematical Statistics. 1960. Vol. 31, Iss. 4. P. 1001–1014. https://doi.org/10.1214/aoms/1177705673.
6. Mallows C.L. Generalizations of Tchebysheff’s inequalities. Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 1956. Vol. 18, Iss. 2. P. 139–168. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1956.tb00220.x.
7. Birnbaum Z.W., Raymond J., Zuckerman H.S. A generalization of Tshebyshev’s inequality to two dimensions. The Annals of Mathematical Statistics. 1947. Vol. 18, Iss. 1. P. 70–79. https://doi.org/10.1214/aoms/1177730493.
8. Chernoff H. A measure of asymptotic efficiency for tests of a hypothesis based on the sum of observations. The Annals of Mathematical Statistics. 1952. Vol. 23, Iss. 4. P. 493–507. https://doi.org/10.1214/aoms/1177729330.
9. Ghosh B.K. Probability inequalities related to Markov’s theorem. The American Statistician. 2002. Vol. 56, Iss. 3. P. 186–190. https://doi.org/10.1198/000313002119.
10. Cantelli F.P. Sui confini della probabilitї Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, 1928. Tomo VI, Comunicazioni (3–10 Settembre 1928, Bologna, Italy). Bologna, 1928. P. 47–59.
11. Selberg H.L. Zwei Ungleichungen sur Ergnzung des Tchebycheffschen Lemmas. Scandinavian Actuarial Journal. 1940. P. 121–125.
12. Godwin H.J. On generalizations of Tchebychef’s inequality. Journal of the American Statistical Association. 1955. Vol. 50, Iss. 271. P. 923–945. https://doi.org/10.1080/01621459.1955.10501978.
13. Tyndall W.F. A duality theorem for a class of continuous linear programming problems. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1965. Vol. 13, Iss. 3. P. 644–666. https://doi.org/10.1137/0113043.
14. Anderson E.J., Nash P. Linear programming in infinite-dimensional spaces: Theory and applications. Chichester: Wiley-Interscience, 1987. xi + 172 p.