Cybernetics And Systems Analysis logo
Інформація редакції Аннотації статей Автори Архів
Кібернетика та Системний Аналіз
Міжнародний Науково-Теоретичний Журнал
-->


DOI 10.34229/KCA2522-9664.26.2.11
УДК 519.6

В.Л. МАКАРОВ
Інститут математики НАН України, Київ, Україна,
makarovimath@gmail.com

Н.В. МАЙКО
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, Україна,
mayko@knu.ua

В.Л. РЯБІЧЕВ
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, Україна,
ryabichev@knu.ua


ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНО ЗБІЖНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ
ЕВОЛЮЦІЙНОГО РІВНЯННЯ З ДРОБОВОЮ ПОХІДНОЮ
В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРІ

Анотація. Досліджено задачу Коші для еволюційного рівняння з похідною дробового порядку і сильно позитивним операторним коефіцієнтом у Банаховому просторі. Точний розв’язок задачі зображено у вигляді ряду за степенями перетворення Келі операторного коефіцієнта та поліномів Лагерра–Келі. Для побудови наближеного розв’язку використано частинну суму цього ряду. Одержано оцінки похибки такого наближення, які свідчать про експоненціальну швидкість збіжності запропонованого методу. Теоретичні результати проілюстровано чисельними прикладами.

Ключові слова: задача Коші, дробове інтегро-диференціювання, поліноми Лагерра–Келі, експоненціальна швидкість збіжності.


повний текст

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

  • 1. Sun H., Zhang Y., Baleanu D., Chen W., Chen Y. A new collection of real world applications of fractional calculus in science and engineering. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. Vol. 64. P. 213–231. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2018.04.019.
  • 2. Hilfer R. (ed.) Applications of fractional calculus in physics. Singapore: World Scientific, 2000. 472 p. https://doi.org/10.1142/3779.
  • 3. Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. London: Imperial College Press, 2010. 368 p. https://doi.org/10.1142/p614.
  • 4. Magin R.L. Fractional calculus in bioengineering (2nd ed.). Redding, CT: Begell House, 2020. 704 p. https://doi.org/10.1615/critrevbiomedeng.v32.i1.10.
  • 5. Comte F., Renault E. Long memory in continuous-time stochastic volatility models. Mathematical Finance. 2002. Vol. 8, Iss. 4. P. 291–323. https://doi.org/10.1111/1467-9965.00057.
  • 6. Cartea A., del-Castillo-Negrete D. Fractional diffusion models of option prices in markets with jumps. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2007. Vol. 374, Iss. 2. P. 749–763. https://doi.org/10.1016/j.physa.2006.08.071.
  • 7. Monje C.A., Chen Y., Vinagre B.M., Xue D., Feliu V. Fractional-order systems and controls: Fundamentals and Applications. London: Springer, 2010. XIV+499 p. https://doi.org/10.1007/978-1-84996-335-0.
  • 8. Bohaienko V.O., Bulavatskyi V.M., Khimich O.M. Mathematical and computer modeling in problems of hydrogeomigration dynamics. Kyiv: Naukova dumka, 2022. 249 p.
  • 9. Sun Z.-Z., Gao G.-H. Fractional differential equations: Finite difference methods. Berlin: De Gruyter, 2020. 396 p.
  • 10. Chakraverty S., Jena R.M., Jena S.K. Computational fractional dynamical systems: Fractional differential equations and applications. Hoboken, NJ: Wiley, 2022. http://doi.org/10.1002/9781119697060.
  • 11. Xue D., Bai L. Fractional calculus: High-precision algorithms and numerical iImplementations. Singapore: Springer, 2024. XI+406 p. https://doi.org/10.1007/978-981-99-2070-9.
  • 12. Milici C., Drgnescu G., Tenreiro Machado J. Introduction to fractional differential equations (Nonlinear Systems and Complexity, Vol. 25). Cham; Switzerland: Springer, 2019. https:// doi.org/10.1007/978-3-030-00895-6.
  • 13. Gavrilyuk I.P., Makarov V.L., Mayko N.V. Weighted estimates for boundary value problems with fractional derivatives. Computational Methods in Applied Mathematics. 2020. Vol. 20, N 4. P. 609–630. https://doi.org/10.1515/cmam-2018-0305.
  • 14. Makarov V., Mayko N. Traditional functional-discrete methods for the problems of mathematical physics: New Aspects. Wiley-ISTE, 2024. XIX+352 p. http://doi.org/10.1002/9781394276660.
  • 15. Mclean W., Thome V. Numerical solution via Laplace transforms of a fractional order evolution equation. J. Integral Equations Applications. 2010. Vol. 22, N 1. P. 57–94. https://doi.org/10.1216/JIE-2010-22-1-57.
  • 16. Makarov V.L., Mayko N.V. Weighted estimates of the Cayley transform method for boundary value problems in a Banach space. Numerical Functional Analysis and Optimization. 2021. Vol. 42, N 2. P. 211–233. https://doi.org/10.1080/01630563.2020.1871010.
  • 17. Gavrilyuk I.P., Makarov V.L. The Cayley transform and the solution of an initial value problem for a first order differential equation with an unbounded operator coefficient in Hilbert space. Numerical Functional Analysis and Optimization. 1994. Vol. 15, N 5–6. P. 583–598. https://doi.org/10.1080/01630569408816582.
  • 18. Makarov V., Mayko N., Ryabichev V. A numerical method without accuracy saturation for a fractional-order equation in a Banach space. J. Applied Numer. Analysis. 2025. Vol. 3. P. 101–112. http://doi:10.30970/ana.2025.3.102.
  • 19. Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V. Mittag-Leffler functions. Related Topics and Applications. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2014. XIV+443 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-43930-2.
  • 20. Makarov V.L., Mayko N.V., Ryabichev V.L. Finding the recurrence relation for the system of polynomials used in the fractional differential problem. Cybern. Syst. Anal. 2025. Vol. 61. P. 53–65. https://doi.org/10.1007/s10559-025-00746-2.
  • 21. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. Киев: Наук. думка, 1984. 283 с.
  • 22. Макаров В.Л., Макаров С.В. Функції і поліноми Келі. Допов. НАН України, 2022, № 5. С. 3–9. https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.05.003.



© 2026 Kibernetika.org. All rights reserved.