DOI
10.34229/KCA2522-9664.26.4.10
УДК 519.872
А. МЕЛІКОВ
Бакинський інженерний університет, Баку, Азербайджан; Інститут математики
Міністерства науки та освіти Азербайджанської республіки, Баку, Азербайджан,
amelikov@beu.edu.az
С. НАВЕНДХАН
Технологічний університет Пудучеррі, Пудучеррі, Індія,
navendhan160600@gmail.com
Г. АЙЯППАН
Технологічний університет Пудучеррі, Пудучеррі, Індія,
ayyappan@ptuniv.edu.in
АНАЛІЗ СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ BMAP/PH/1/K
З КЕРОВАНИМ ГРУПОВИМ ОБСЛУГОВУВАННЯМ, ЧАСОМ
НАЛАГОДЖЕННЯ ТА ВІДМОВАМИ ВІД ОЧІКУВАННЯ
Анотація. У системі масового обслуговування зі скінченним обсягом буфера один пристрій здійснює обслуговування групових заявок, при цьому надходження заявок до системи здійснюється у вигляді групового марковського вхідного потоку (Batch Markovian Arrival Process, BMAP). Система обслуговує групи заявок різного розміру, а тривалості обслуговування мають розподіл фазового типу. Інтенсивність обслуговування зростає (переходить у прискорений режим), коли розмір буфера перевищує деяке порогове значення, і повертається до свого «нормального» значення після завершення поточного обслуговування. Пакетні заявки, що надходять, можуть відмовлятися від входу до системи (balking) у періоди простою пристрою. Після завершення кожного обслуговування пристрій проходить стадію налагодження (setup). Для аналізу стаціонарного режиму цієї моделі масового обслуговування застосовано матрично-аналітичний метод. Наведено показники ефективності, отримані з використанням методу регулярного розщеплення, а також розглянуто числові приклади.
Ключові слова: груповий марковський вхідний потік, розподіл фазового типу, процес налагодження, відмова від очікування, матрично-аналітичний метод, регулярне розщеплення.
повний текст
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
- Crabill T.B. Optimal control of a service facility with variable exponential service times and constant arrival rate. Management Science. 1972. Vol. 18, N 9. P. 465–587. https://doi.org/10.1287/mnsc.18.9.560.
- Neuts M.F., Rao B.M. On the design of a finite-capacity queue with Phase-type service times and hysteretic control. European Journal of Operational Research. 1992. Vol. 62, Iss. 2. P. 221–240. https://doi.org/10.1016/0377-2217(92)90250-D.
- Chakravarthy S.R. Analysis of the queue with service control. Applied Stochastic Models and Data Analysis. 1996. Vol. 12, Iss. 3. P. 179–191. https://doi.org/10.1002/(SICI)1099-0747(199609)12:33.0.CO;2-U.
- Chakravarthy S.R. Analysis of a priority polling system with group services. Communications in Statistics. Stochastic Models. 1998. Vol. 14, Iss. 1–2. P. 25–49. https://doi.org/10.1080/15326349808807459.
- Chakravarthy S.R., Ozkar S.A. A queueing model with BMAP arrivals and heterogeneous phase type group services. Methodology and Computing in Applied Probability. 2024. Vol. 26. Article number 53. https://doi.org/10.1007/s11009-024-10122-w.
- Lucantoni D.M, Meier-Hellstern K.S., Neuts M.F. A single-server queue with server vacations and a class of non-renewal arrival process. Advances in Applied Probability. 1990. Vol. 22, Iss. 3. P. 676–705. https://doi.org/10.2307/1427464.
- Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a batch Markovian arrival process. Communications in Statistics. Stochastic Models. 1991. Vol. 7, Iss. 1. P. 1–46. https://doi.org/10.1080/15326349108807174
- Neuts M.F. A versatile Markovian point process. Journal of Applied Probability. 1979. Vol. 16, Iss. 4. P. 764–779. https://doi.org/10.2307/3213143.
- Ghosh S., Banik A.D., Walraevens J., Bruneel H. A detailed note on the finite-buffer queueing system with correlated batch-arrivals and batch-size-phase-dependent bulk-service. 4OR. A Quarterly Jounal of Operations Research. 2022. Vol. 20. P. 241–272. https://doi.org/10.1007/s10288-021-00478-x.
- Dudin A., Chakravarthy S. Optimal hysteretic control for the system with single and group service modes. Annals of Operations Research. 2002. Vol. 112, Iss. 1–4. P. 153–169. https://doi.org/10.1023/A:1020985106453.
- Chakravarthy S.R. Introduction to matrix-analytic methods in queues 2: Analytical and simulation approach — Queues and simulation. New York: London and John Wiley and Sons, 2022. 415 p. https://doi.org/10.1002/9781394174201.
- Dario A.B., Chakravarthy S.R., Beatrice M. Control of the queue with group services. In: Advances in Algorithmic Methods for Stochastic Models. New Jersey: Notable Publications Inc., 2000. P. 57–72. URL: https://digitalcommons.kettering.edu/industrialmanuf_eng_conference/16.
- Ayyappan G., Gowthami R. A system with two types of heterogeneous service, setup, closedown, vacation, immediate feedback, breakdown and repair. International Journal of Mathematics in Operational Research. 2022. Vol. 22, N 3. P. 313–348. https://doi.org/10.1504/IJMOR.2022.124136.
- Kalyanaraman R., Janani G. Finite population and finite capacity single server batch service queues with compulsory working vacation. International Journal of Mathematics in Operational Research. 2024. Vol. 29, N 2. P. 163–190. https://doi.org/10.1504/IJMOR.2024.142117.
- Melikov A., Divya V., Aliyeva S. Analyses of feedback queue with positive server setup time and impatient calls. Communications in Computer and Information Science. 2021. Vol. 1391. P. 155–179. https://doi.org/10.1007/978-3-030-72247-0_12.
- Melikov A., Divya V., Aliyeva S. Markov model of queueing system with instantaneous feedback and server setup time. Journal of Modern Technology and Engineering. 2021. Vol. 6, N 1. P. 5–12. URL: https://jomardpublishing.com/UploadFiles/Files/journals/JTME/v6n1/MelikovA_et_al.pdf.
- Azhagappan A., Deepa T. Transient behavior of a single-server Markovian queue with balking and working vacation interruptions. Journal of the Operations Research Society of China. 2021. Vol. 9, Iss. 2. P. 321–341. https://doi.org/10.1007/s40305-019-00288-3.
- Melikov A., Ponomarenko L., Kuliyeva K. Numerical analysis of a queueing system with feedback. Cybernetics and Systems Analysis. 2015. Vol. 51, N 4. P. 566–573. https://doi.org/10.1007/s10559-015-9747-4.
- Banik A.D., Gupta U.C., Chaudhry M.L. Finite-buffer bulk service queue under Markovian service process: . Stochastic Analysis and Applications. 2009. Vol. 27, Iss. 3. P. 500–522. https://doi.org/10.1080/07362990902844157.
- Sundar R., Ganesan V., Rita S. Batch arrival Poisson queue with breakdown and repairs. International Journal of Mathematics in Operational Research. 2020. Vol. 17, N 3. P. 424–435. https://doi.org/10.1504/IJMOR.2020.110033.
- Melikov A., Aliyeva S., Sztrik J. Analysis of queueing system with delayed feedback. Mathematics. 2019. Vol. 7, Iss. 11. Article number 1128. https://doi.org/10.3390/math7111128.
- Majid S. Performance analysis of a Markovian queue with impatient customers and working vacation. Journal of the Operations Research Society of China. 2023. Vol. 11, Iss. 1. P. 133–156. https://doi.org/10.1007/s40305-021-00361-w.
- Chang S.H., Choi D.W. Modeling and performance analysis of a finite-buffer queue with batch arrivals, batch services, and setup times: The queue with setup times. INFORMS Journal on Computing. 2006. Vol. 18, N 2. P. 218–228. https://doi.org/10.1287/ijoc.1040.0117[12].
- Madhu J., Anshul K. Effect of disaster and balking on driven fluid queue with working vacation. International Journal of Mathematics in Operational Research. 2022. Vol. 23, N 3. P. 359–371. https://doi.org/10.1504/IJMOR.2022.127380.
- Nagarajan P., Kalyanaraman R. An queue with Bernoulli vacation and unreliable server. International Journal of Mathematics in Operational Research. 2023. Vol. 25, N 4. P. 492–510. https://doi.org/10.1504/IJMOR.2023.132836.
- Ayyappan G., Nithya S. A retrial queue with priority services, differentiate breakdown, delayed repair, Bernoulli feedback, balking, and working vacation. International Journal of Mathematics in Operational Research. 2024. Vol. 28, N 4. P. 491–513. https://doi.org/10.1504/IJMOR.2024.140347.
- Ushakumari P.V. On a two-server reliability system with one-server idle below a threshold. International Journal of Mathematics in Operational Research. 2021. Vol. 18, N 4. P. 528–544. https://doi.org/10.1504/IJMOR.2021.114209.
- Sivasamy R., Peter O.P. A c-server Poisson queue with customer impatience due to slow phase service. International Journal of Mathematics in Operational Research. 2021. Vol. 20, N 1. P. 85–98. https://doi.org/10.1504/IJMOR.2021.117632.
- Dudin A., Dudina O., Dudin S., Melikov A. Analysis of a queueing model with flexible priority, batch arrival, and impatient customers. Computation. 2025. Vol. 13, Iss. 3. Article number 77. https://doi.org/10.3390/computation13030077.
- Steeb W.-H., Hardy Y. Matrix calculus and Kronecker product: A practical approach to linear and multilinear algebra. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2011. 324 p.
- Donald J.R. Convergent regular splitting for singular M-matrices. SIAM Journal on Algebraic Discrete Methods. 1984. Vol. 5, Iss. 1. P. 133–144. https://doi.org/10.1137/0605015.
- Pierre S. Iterative algorithms for large stochastic matrices. Linear Algebra and its Application. 1991. Vol. 154–156. P. 65–103. URL: https://www.sciencedirect.com/journal/linear-algebra-and-its-applications/vol/154/suppl/C.
- Klimenok V., Dudin A. On the distribution of the number of consecutively lost customers in the system. Lecture Notes in Computer Science. 2022. Vol. 13766. P. 257–269. https://doi.org/10.1007/978-3-031-23207-7_20.
- Klimenok V.I., Dudin A.N., Samouylov K.E. Analysis of the queueing system with backup servers. Applied Mathematical Modelling. 2018. Vol. 57. P. 64–84. https://doi.org/10.1016/J.APM.2017.12.024.