Анотація. Розглянуто актуальні проблеми сучасної теорії динамічних систем на многовидах, які активно розвиваються на цей час. Наведено стислий огляд таких напрямів теорії динамічних систем. З використанням алгебр дуальних чисел, кватерніонних алгебр, алгебр бікватерніонів (дуальних кватерніонів) розроблено застосунки до дослідження нескінченно малих околиць та інфінітезимальних деформацій многовидів (схем). Стисло наведено теорію диференціально-алгебраїчних рівнянь над полем дійсних чисел та їхню динаміку, а також елементи оптимізації траєкторій відповідних динамічних систем. На основі зв’язності в розшаруваннях наведено розширення теорії диференціально-алгебраїчних рівнянь на алгебраїчні многовиди і схеми над довільними полями і схемами відповідно.

Ключові слова: дуальне число, дуальний кватерніон, кватерніонна алгебра, алгебраїчний многовид, схема, деформація, диференціально-алгебраїчне рівняння, математична модель, динамічна система, диференціальне рівняння на алгебраїчному многовиді.