УДК 519.6
КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ В ОЦЕНКЕ ТОЧНОСТИ СЕТОЧНОГО МЕТОДА
ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Аннотация. Построены и исследованы сеточные методы решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения с производной Римана–Лиувилля дробного порядка. При помощи функции Грина краевая задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма, для дискретизации которого применяются интерполяционные полиномы Лагранжа. Доказаны весовые оценки точности сеточных задач, учитывающие влияние краевого условия Дирихле. Полученные результаты свидетельствуют о том, что в приграничных узлах сетки точность приближенного решения выше, чем в ее внутренних узлах. Теоретические результаты проиллюстрированы численным примером.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, краевое условие Дирихле, производная дробного порядка, сеточное решение, оценка погрешности, краевой эффект.
ПОЛНЫЙ ТЕКСТ
Макаров Володимир Леонідович,
академік НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор, завідувач відділу Інституту математики НАН України, Київ,
makarovimath@gmail.com
Майко Наталія Валентинівна,
кандидат фіз.-мат. наук, доцент, доцент кафедри Київського національного університету імені Тараса Шевченка,
mayko@knu.ua
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Samarskii A.A. The theory of difference schemes. New York: Marcel Dekker, Inc. 2001. 762 p.
- Галба Е.Ф. О порядке точности разностной схемы для уравнения Пуассона со смешанным граничным условием. Сб. «Оптимизация алгоритмов программного обеспечения ЭВМ». Киев: Ин.-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР. 1985. С 30–34.
- Makarov V. On a priori estimate of difference schemes giving an account of the boundary effect. C. R. Acad. Bulg. Sci. (Proc. of the Bulgarian Academy of Sciences). 1989. Vol. 42, N 5. P. 41–44.
- Makarov V.L., Demkiv L.I. Accuracy estimates of difference schemes for quasi-linear elliptic equations with variable coefficients taking into account boundary effect. Lect. Notes Comput. Sc. 2005. Vol. 3401. P. 80–90.
- Makarov V.L., Demkiv L.I. Weight uniform accuracy estimate of finite-difference method for Poisson equation taking into account boundary effect. Lect. Notes Comput. Sc. 2009. Vol. 5434. P. 92–103.
- Макаров В.Л., Демків Л.І. Покращені оцінки точності традиційних різницевих схем для параболічних рівнянь. Праці укр. матем. конгресу. 2001. С. 31–42.
- Макаров В.Л., Демків Л.І. Оцінки точності різницевих схем для параболічних рівнянь, що враховують початково-крайовий ефект. Доповіді НАН України. 2003. № 2. С. 26–32.
- Mayko N.V. Improved accuracy estimates of the difference scheme for the two-dimensional parabolic equation with regard for the effect of initial and boundary conditions. Cybern. Syst. Anal. 2017. Vol. 53, N 1. P. 99–107.
- Machado J.A., Galhano A.M.S.F., Trujillo J.J. On development of fractional calculus during the last fifty years. Scientometrics. 2014. Vol. 98, Iss. 1. P. 577–582.
- Bulavatsky V.M. Fractional differential analog of biparabolic evolution equation and some of its application. Cybern. Syst. Anal. 2016. Vol. 52, N 5. P. 737–747.
- Васильев В.В, Симак Л.А. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем. Киев: НАН Украины, 2008. 256 с.
- Demkiv I.I., Gavrilyuk I.P., Makarov V.L. Super-exponentionally convergent parallel algorithm for the eirgen value problems with fractional derivatives. Comput. Methods Appl. Math. 2016. Vol. 16, N 4. P 633–652.
- Bangti J., Lazarov R., Vabishchevich P. Preface: Numerical analysis of fractional differential equations. Comp. Methods Appl. Math. 2017. Vol. 17, N 4. P. 643–646.
- Makarov V.L, Mayko N.V. The boundary effect in the accuracy estimate for the grid solution of the fractional differential equation. Computational Methods in Applied Mathematics. 2018. Vol. 20, Iss. 10. DOI: https://doi.org/10.1515/cmam-2018-0002.
- Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications. New York: Gordon and Breach Science, 1993. 1006 p.
- Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л.Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. Москва: Высшая школа, 1987. 296 с.
- Evans L.C. Partial differential equations. 2nd ed. Providence, USA: AMS Press, 2010. 778 p.
- Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. Москва: Наука, 1981. 448 с.
- Гаврилюк І.П., Макаров В.Л. Методи обчислень. Частина 1. Київ: Вища школа, 1995. 367 с.
