УДК 621.391.15 : 519.7
СУПЕРСИНГУЛЯРНЫЕ СКРУЧЕННЫЕ КРИВЫЕ ЭДВАРДСА НАД ПРОСТЫМ ПОЛЕМ1.
ІI. СУПЕРСИНГУЛЯРНЫЕ СКРУЧЕННЫЕ КРИВЫЕ ЭДВАРДСА
С j-ИНВАРИАНТОМ,
РАВНЫМ 663
Аннотация. Cформулированы и доказаны теоремы об условиях существования суперсингулярных кривых Эдвардса
над простым полем с j-инвариантом, равным 663, и с другими значениями j-инвариантов.
Приведено обобщение полученных ранее результатов, использующее изоморфизм кривых в формах Лежандра и Эдвардса.
Ключевые слова: суперсингулярная кривая, полная кривая Эдвардса, скрученная кривая Эдвардса,
квадратичная кривая Эдвардса, пара квадратичного кручения, порядок точки, символ Лежандра, квадратичный вычет, квадратичный невычет.
ПОЛНЫЙ ТЕКСТ
Бессалов Анатолий Владимирович,
доктор техн. наук, профессор, профессор кафедры Киевского университета имени Бориса Гринченко; профессор кафедры Физико-технического института НТУУ «КПИ имени Игоря Сикорского»,
bessalov@ukr.net
Ковальчук Людмила Васильевна,
доктор техн. наук, профессор, профессор кафедры Физико-технического института НТУУ «КПИ имени Игоря Сикорского», Киев,
lusi.kovalchuk@gmail.com
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Бессалов А.В., Ковальчук Л.В. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. I. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантами, равными нулю и 123. Кибернетика и системный анализ. 2019. Vol. 55, № 3. P. 3–10.
- Бессалов А.В. Эллиптические кривые в форме Эдвардса и криптография. Киев: КПИ имени Игоря Сикорского. Изд-во Полiтехнiка, 2017. 272 с.
- Bernstein D.J., Lange T. Faster addition and doubling on elliptic curves. In: Advances in Cryptology—ASIACRYPT’2007 (Proc. 13th Int. Conf. on the Theory and Application of Cryptology and Information Security. Kuching, Malaysia. December 2–6, 2007). Lect. Notes Comp. Sci. Vol. 4833. Berlin: Springer, 2007. P. 29–50.
- Menezes A.J, Okamoto T., Vanstone S.A. Reducing elliptic curve logarithms to logarithms in a finite field. IEEE Transactions on Information Theory. 1993. Vol. 39, Iss. 5. P. 1639–1646.
- Washington L.C. Elliptic curvres. Number theory and cryptography. Second Edition. CRC Press, 2008. 513 p.
- De Feo L., Jao D., Plut J. Towards quantum-resistant cryptosystems from supersingular elliptic curve isogenies. J. Mathematical Cryptology. 2014. Vol. 8, N 3. P. 209–247.
- Unruh D. Non-interactive zero-knowledge proofs in the quantum random oracle model. Berlin; Heidelberg: Springer, 2015. P. 755–784.
- Yoo Y., Azarderakhsh R., Jalali A., Jao D., Soukharev V. A post-quantum digital signature scheme based on supersingular isogenies. Cryptology ePrint Archive, Report 2017/186, 2017. URL: http://eprint.iacr.org/2017/186. 18 p.
- Bernstein D.J., Birkner P., Joye M., Lange T., Peters Ch. Twisted Edwards curves. IST Programme under Contract IST–2002–507932 ECRYPT and in Part by the National Science Foundation under Grant ITR–0716498, 2008. Р. 1–17.
- Бессалов А.В., Цыганкова О.В. Взаимосвязь семейств точек больших порядков кривой Эдвардса над простым полем. Проблемы передачи информации. 2015. Vol. 51, Iss. 4. P. 92–98.
- Бессалов А.В., Цыганкова О.В. Классификация кривых в форме Эдвардса над простым полем. Прикладная радиоэлектроника. 2015. Т. 14, № 4. С. 197–203.
- Бессалов А.В., Цыганкова О.В. Число кривых в обобщенной форме Эдвардса с минимальным четным кофактором порядка кривой. Проблемы передачи информации. 2017. Vol. 53, Iss. 1. P. 101–111.
- Бессалов А.В., Телиженко А.Б. Криптосистемы на эллиптических кривых. Киев: ІВЦ «Політехніка», 2004. 224 p.
- Morain F. Edwards curves and CM curves. ArXiv 0904/2243v1 [Math.NT] Apr.15, 2009. 15 p.
- Бессалов А.В., Ковальчук Л.В. Точное число эллиптических кривых в канонической форме, изоморфных кривым Эдвардса над простым полем. Кибернетика и системный анализ. 2015. Vol. 51, № 2. P. 3–12.
- Беспалов О. Узагальнення леми Гаусса про характери пар елементів простого скінченного поля. Зб. наук. праць Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України та Кам’янець-Подольського національного університету імені Івана Огієнка. 2017. Iss. 15. P. 26–31.
