Cybernetics And Systems Analysis logo
Інформація редакції Аннотації статей Автори Архів
Кібернетика та Системний Аналіз
Міжнародний Науково-Теоретичний Журнал
-->

DOI 10.34229/KCA2522-9664.24.5.12
УДК 517.95

Е.Т. КАРІМОВ
Ферганський державний університет, Фергана, Узбекистан,
erkinjon@gmail.com

Н.Е. ТОКМАГАМБЕТОВ
Центр математичних досліджень, Сарданьола-дал-Бальєс (Барселона), Іспанія,
tokmagambetov@crm.cat
Інститут математики та математичного моделювання, Алмати, Казахстан,
tokmagambetov@math.kz

Д.А. УСМОНОВ
Ферганський державний університет, Фергана, Узбекистан,
dusmonov909@gmail.com


ОБЕРНЕНА ПОЧАТКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ВИРОДЖЕНОГО
ЗА ЧАСОМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ
ПОХІДНИМИ ТА БІПОРЯДКОВОЮ ПОХІДНОЮ ХІЛЬФЕРА

Анотація. Доведено однозначну розв’язність оберненої початкової задачі для виродженого за часом диференціального рівняння з дробовими частинними похідними. Методом розділення змінних отримано задачу Коші для дробового диференціального рівняння, що включає біпорядкову похідну Хільфера за часовою змінною. Представлено розв’язок цієї задачі Коші в явній формі через функцію Кілбаса–Сайго. З використанням верхньої та нижньої меж цієї функції доведено рівномірну збіжність нескінченних рядів, що відповідають розв’язку сформульованої оберненої початкової задачі.

Ключові слова: обернена початкова задача, вироджене диференціальне рівняння з частинними похідними (ДРЧП), біпорядковий оператор Хільфера, функція Кілбаса–Сайго.


повний текст

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

  • 1. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p. URL: www.sciencedirect.com/ bookseries/north-holland-mathematics-studies/vol/204.

  • 2. Uchaikin V.V. Fractional derivatives for physicists and engineers. Berlin; Heidelberg: Springer, 2013. XXI, 385 p. URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-33911-0.

  • 3. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка. Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 4 С. 660–670.

  • 4. Luchko Y., Yamomoto M. General time-fractional diffusion equation: some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems. Fract. Calc. Appl. Anal. 2016. Vol. 19, Iss 3. P. 676–695. doi.org/10.1515/fca-2016-0036.

  • 5. Zacher R. Time fractional diffusion equations: solution concepts, regularity, and long-time behavior. In: Handbook of Fractional Calculus with Applications. Volume 2 Fractional Differential Equations. Kochubei A., Luchko Yu. (Eds.). Berlin; Boston: De Gruyter, 2019. P. 159–180. doi.org/10.1515/9783110571660-008.

  • 6. Nakagawa J., Sakamoto K., Yamamoto M. Overview to mathematical analysis for fractional diffusion equations — new mathematical aspects motivated by industrial collaboration. J. Math-for-Indust. 2010. Vol. 2 (2010A-10). P. 99-108.

  • 7. Fa K.S., Lenzi E.K. Time-fractional diffusion equation with time dependent diffusion coefficient. Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72, Iss. 1. 011107. doi.org/10.1103/PhysRevE.72.011107.

  • 8. Bologna M., Svenkeson A., West B.J., Grigolini P. Diffusion in heterogeneous media: an iterative scheme for finding approximate solutions to fractional differential equations with time-dependent coefficients. J. Comp. Phys. 2015. Vol. 293. P. 297–311. doi.org/10.1016/j.jcp.2014.08.027.

  • 9. Hristov J. Subdiffusion model with time-dependent diffusion coefficient: integral-balance solution and analysis. Thermal Science. 2017. Vol. 21, Iss. 1. Part A. P. 69–80. doi.org/10.2298/TSCI160427247H .

  • 10. Costa F.S., de Oliveira E.C., Plata A.R.G. Fractional diffusion with time-dependent diffusion coefficient. Rep. Math. Phys. 2021. Vol. 87, Iss. 1. P. 59–79. doi.org/10.1016/S0034-4877(21)00011-2.

  • 11. Fedorov V.E., Nazhimov R.R. Inverse problems for a class of degenerate evolution equations with Riemann–Liouville derivative. Fract. Calc. Appl. Anal. 2019. Vol. 22, N 2. P. 271–286. doi.org/10.1515/fca-2019-0018.

  • 12. Al-Salti N., Karimov E.T. Inverse source problems for degenerate time-fractional PDE. Progr. Fract. Differ. Appl. 2022. Vol. 8, N 1. P.39–52. doi.org/10.18576/pfda/080102.

  • 13. Smadiyeva A.G., Torebek B.T. Decay estimates for the time-fractional evolution equations with time-dependent coefficients. arXiv:2210.16120v2 [math.AP] 18 Jul 2023. doi.org/10.48550/arXiv.2210.16120.

  • 14. Вабищевич П.Н. Нелокальные параболические задачи и обратная задача теплопроводности. Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17, № 7. С. 1193–1199.

  • 15. de Andrade B., Cuevas C., Soto H. On fractional heat equations with non-local initial conditions. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 2016. Vol. 59, Iss. 1. P. 65–76. doi.org/10.1017/S0013091515000590.

  • 16. Pao C.V. Reaction diffusion equations with nonlocal boundary and nonlocal initial conditions. J. Math. Anal. Appl. 1995. Vol.195, Iss. 3. P. 702–718. .

  • 17. Tuan N.H., Triet N A., Luc N H., Phuong N.D. On a time fractional diffusion with nonlocal in time conditions. Adv. Differ. Equ. 2021. Article number 204. P. 1–14. doi.org/ 10.1186/s13662-021-03365-1.

  • 18. Ashyralyev A.O., Hanalyev A., Sobolevskii P.E. Coercive solvability of nonlocal boundary value problem for parabolic equations. Abstr. Appl. Anal. 2001. Vol. 6, Iss. 1. P. 53–61. doi.org/10.1155/S1085337501000495.

  • 19. Ashurov R., Fayziev Y. On the nonlocal problems in time for time fractional subdiffusion equations. Fractal Fract. 2022. Vol. 6, Iss. 1. Article number 41. doi.org/10.3390/fractalfract6010041.

  • 20. Karimov E., Mamchuev M., Ruzhansky M. Non-local initial problem for second order time-fractional and space-singular equation. Hokkaido Math. J. 2020. Vol. 49, Iss. 2. P. 349–361. doi.org/10.14492/hokmj/1602036030.

  • 21. Karimov E., Toshtemirov B. On a time-nonlocal boundary value problem for time-fractional partial differential equation. International Journal of Applied Mathematics. 2022. Vol. 35, Iss. 3. P. 423–438. dx.doi.org/10.12732/ijam.v35i3.5.

  • 22. Ruzhansky M., Tokmagambetov N., Torebek B.T. Inverse source problems for positive operators. I: Hypoelliptic diffusion and subdiffusion equations. Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2019. Vol. 27, Iss. 6. P. 891–911. doi.org/10.1515/jiip-2019-0031.

  • 23. Ashurov R.R., Mukhiddinova A.T. Inverse problem of determining the heat source density for the subdiffusion equation. Differential equations. 2020. Vol. 56, Iss. 12. P. 1550–1563. doi.org/10.1134/S00122661200120046.

  • 24. Boudabsa L., Simon T. Some properties of the Kilbas–Saigo function. Mathematics. 2021. Vol. 9, Iss. 3. Article number 217. doi.org/10.3390/math9030217.

  • 25. Hilfer R. Experimental evidence for fractional time evolution in glass forming materials. J. Chem. Phys. 2002. Vol. 284, Iss. 1–2. P. 399–408. doi.org/10.1016/S0301-0104(02)00670-5.

  • 26. Bulavatsky V.M. Closed form of the solutions of some boundary-value problems for anomalous diffusion equation with Hilfer’s generalized derivative. Cybernetics and Systems Analysis. 2014. Vol. 30, N 4. P. 570–577. doi.org/10.1007/s10559-014-9645-1.

  • 27. Karimov E.T., Toshtemirov B.H. Non-local boundary value problem for a mixed-type equation involving the bi-ordinal Hilfer fractional differential operators. Uzbek Mathematical Journal. 2021. Vol. 65, Iss. 2. P. 61–77. arXiv:2106.13223v1 [math.AP] 24 Jun 2021. doi.org/10.48550/arXiv.2106.13223.

  • 28. Saigo M., Kilbas A.A. On Mittag-Leffler type function and applications. Integral Transforms and Special Functions. 1998. Vol. 7, Iss. 1–2. P. 97–112. doi.org/10.1080/10652469808819189.

  • 29. Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V. Mittag-Leffler functions, related topics and applications. Heidelberg: Springer, 2020. XIV, 443 p. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-61550-8.

  • 30. Karimov E., Ruzhansky M., Tokmagambetov N. Cauchy type problems for fractional differential equations. Integral Transforms and Special Functions. 2022. Vol. 33, Iss. 1. P. 47–64. doi.org/10.1080/10652469.2021.1900174.




© 2024 Kibernetika.org. All rights reserved.