DOI
10.34229/KCA2522-9664.25.1.8
УДК 517.977.5
А.В. АНІКУШИН
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, Україна,
andrii.anikushyn@knu.ua
Х.М. ГРАНІШАК
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, Україна,
kristinka.granishak@gmail.com
В.С. ЛЯШКО
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, Україна,
lyashko91@gmail.com
О.С. САМОСЬОНОК
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, Україна,
samosyonok@gmail.com
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ГІПЕРБОЛІЧНИМИ
ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ СИСТЕМАМИ
Анотація. Доведено апріорні нерівності для класу лінійних інтегро-диференціальних рівнянь гіперболічного типу, що виникають під час дослідження в’язкопружних середовищ. Сформульовано теореми існування та єдиності узагальненого розв’язку, неперервної залежності розв’язку від правої частини рівняння. Наведено задачу оптимального керування та сформульовано теорему про існування її розв’язку.
Ключові слова: апріорні оцінки, узагальнена розв’язність, оптимальне керування, інтегро-диференціальне рівняння, гіперболічне рівняння.
повний текст
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
- 1. Cannarsa P., Sforza D. Integro-differential equations of hyperbolic type with positive definite kernels. Journal of Differential Equations. 2011. Vol. 250, Iss. 12. P. 4289–4335. https://doi.org/10.1016/j.jde.2011.03.005. .
- 2. Conti M., Gatti S., Pata V. Uniform decay properties of linear Volterra integro-differential equations. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2008. Vol. 18, Iss. 1. P. 21–45. https://doi.org/10.1142/S0218202508002590. .
- 3. Lakes R. Viscoelastic solids. CRC Press Revivals, 1998. 490 p. https://doi.org/10.1201/ 9781315121369. .
- 4. Kelly P. Solid mechanics lecture notes. The University of Auckland, 2013. URL: https://pkel015.connect.amazon.auckland.ac.nz/ .
- 5. Renardy M., Hrusa W., Nohel J. Mathematical problems in viscoelasticity. Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. Vol. 35. Longman Science & Technology, 1987. 292 p.
- 6. Fabrizio M., Morro A. Mathematical problems in linear viscoelasticity. SIAM Studies in Applied Mathematics, 1992. 203 p. https://doi.org/10.1137/1.9781611970807. .
- 7. Loreti P., Sforza D. Reachability problems for a class of integro-differential equations. Journal of Differential Equations. 2010. Vol. 248, Iss. 7. P. 1711–1755. https://doi.org/10.1016/ j.jde.2009.09.016. .
- 8. Diagana T. Existence results for some damped second-order Volterra integro-differential equations. Applied Mathematics and Computation. 2014. Vol. 237. P. 304–317. https://doi.org/ 10.1016/j.amc.2014.03.105. .
- 9. Engler H. Weak solutions of a class of quasilinear hyperbolic integro-differential equations describing viscoelastic materials. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1991. Vol. 113, Iss. 1. P. 1–38. https://doi.org/10.1007/BF00380814. .
- 10. Gan X.-T., Yin J.-F. Symmetric finite volume element approximations of second order linear hyperbolic integro-differential equations. Computers and Mathematics with Applications. 2015. Vol. 70, Iss. 10. P. 2589–2600. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2015.09.019. .
- 11. Karaa S., Pani A., Yadav S. A priori hp-estimates for discontinuous Galerkin approximations to linear hyperbolic integro-differential equations. Applied Numerical Mathematics. 2015. Vol. 96. P. 1–23. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2015.04.006. .
- 12. Saedpanah F. Well-posedness of an integro-differential equation with positive type kernels modeling fractional order viscoelasticity. European Journal of Mechanics - A/Solids. 2014. Vol. 44. P. 201–211. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2013.10.014. .
- 13. Shen W., Yang D., Liu W. Optimal control problem governed by a linear hyperbolic integro-differential equation and its finite element analysis. Boundary Value Problems. 2014. Article number 173 (2014). https://doi.org/10.1186/s13661-014-0173-8. .
- 14. Dafermos C. An abstract Volterra equation with applications to linear viscoelasticity. Journal of Differential Equations. 1970. Vol. 7, Iss. 3. P. 554–569. https://doi.org/10.1016/0022- 0396(70)90101-4. .
- 15. Анікушин А., Номіровський Д. Траекторно-фінальна керованість гіперболічними системами в різних класах узагальнених функцій. Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Фізико-математичні науки. 2008. Вип. 3. С. 119–124. URL: http://www.library.univ.kiev.ua/ukr/host/10.23.10.100/ .
- 16. Анікушин А. Узагальнена розв’язність гіперболічних інтегро-диференціальних рівнянь. Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Фізико-математичні науки. 2013. Вип. 4. С. 60–65. URL: http://www.library.univ.kiev.ua/ ukr/host/10.23.10.100/ .
- 17. Berezanskii Ju.M. Expansions in eigenfunctions of selfadjoint operators. Translations of Mathematical Monographs Series. Vol. 17. Providence: American Mathematical Society, 1968. 809 p. URL: URL: https://bookstore.ams.org/mmono-17. .
- 18. Didenko V.P. On boundary value problems for multidimensional hyperbolic equations with degeneracy. Proceedings of the USSR Academy of Sciences. 1972. Vol. 205, Iss. 4. P. 763–766. (In Russian).
- 19. Lyashko S.I. Generalized optimal control of linear systems with distributed parameters. Kluwer Academic Publishers, 2002. 472 p. https://doi.org/10.1007/b130433. .
- 20. Klyushin D.A., Lyashko S.I., Nomirovskii D.A., Petunin Yu.I., Semenov V.V. Generalized solutions of operator equations and extreme elements. SOIA. Vol. 55. New York: Springer New York, 2013. 202 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-0619-8. .
- 21. Anikushyn A., Nomirovskyi D. Generalized solutions for linear operators with weakened a priori inequalities. Ukrainian Mathematical Journal. 2011. Vol. 62, Iss. 8. P. 1175–1186. https://doi.org/10.1007/s11253-011-0435-x. .
- 22. Klyushin D.A., Lyashko S.I., Nomirovskii D.A., Petunin Yu.I., Semenov V.V. Applications of the theory of generalized solvability of linear equations. In: Generalized Solutions of Operator Equations and Extreme Elements. Springer Optimization and Its Applications. Vol. 55. New York: Springer New York, 2011. P. 29–101. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-0619-8_4. .
- 23. Klyushin D.A., Lyashko S.I., Nomirovskii D.A., Petunin Yu.I., Semenov V.V. The simplest schemes of generalized solution of linear operator equation. In: Generalized Solutions of Operator Equations and Extreme Elements. Springer Optimization and Its Applications. Vol. 55. New York: Springer New York, 2011. P. 7–15. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-0619-8 _2. .
- 24. Klyushin D.A., Lyashko S.I., Nomirovskii D.A., Petunin Yu.I., Semenov V.V. A priori estimates for linear continuous operators. In: Generalized Solutions of Operator Equations and Extreme Elements. Springer Optimization and Its Applications. Vol. 55. New York: Springer New York, 2011. P. 17–27. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-0619-8_3. .
- 25. Sergienko I., Khimich O., Klyushin D., Lyashko V., Lyashko S., Semenov V. Formation and development of the scientific school of the mathematical theory of filtration. Cybernetics and Systems Analysis. 2023. Vol. 59, N 1. P. 61–70. https://doi.org/10.1007/s10559-023-00542-w. .
- 26. Nomirovskii D. Generalized solvability of parabolic systems with nonhomogeneous transmission conditions of nonideal contact type. Differential Equations. 2004. Vol. 40, Iss. 10. P. 1467–1477. https://doi.org/10.1007/s10625-004-0013-1. .
- 27. Lyashko S., Nomirovskii D. Generalized solutions and optimal controls in systems describing the dynamics of a viscous stratified fluid. Differential Equations. 2003. Vol. 39, Iss. 1. P. 90–98. https://doi.org/10.1023/A:1025176109884. .
- 28. Lyashko S., Nomirovskii D., Sergienko T. Trajectory and final controllability in hyperbolic and pseudohyperbolic systems with generalized actions. Cybernetics and Systems Analysis. 2001. Vol. 37, N 5. P. 756–763. https://doi.org/10.1023/A:1013871026026. .
- 29. Nomirovskii D. Unique solvability of pseudohyperbolic equations with singular right-hand sides. Mathematical Notes. 2006. Vol. 80, Iss. 3–4. P. 550–562. https://doi.org/10.1007/ s11006-006-0174-8. .
- 30. Nomirovskii D. The control of pseudohyperbolic systems. Journal of mathematical sciences. 1999. Vol. 97, Iss. 2. P. 3945–3951. https://doi.org/10.1007/BF02366385. .
- 31. Nomirovskii D. Generalized solvability and optimization of a parabolic system with a discontinuous solution. Journal of Differential Equations. 2007. Vol. 233, Iss. 1. P. 1–21. https://doi.org/10.1016/j.jde.2006.09.025. .
- 32. Nomirovskii D., Vostrikov O. Generalized statements and properties of models of transport processes in domains with cuts. Cybernetics and Systems Analysis. 2016. Vol. 52, N 6. P. 931–942. https://doi.org/10.1007/s10559-016-9895-1. .
- 33. Tymchyshyn I., Nomirovskii D. Generalized solvability of a parabolic model describing transfer processes in domains with thin inclusions. Differential Equations. 2021. Vol. 57, Iss. 8. P. 1053–1062. https://doi.org/10.1134/S0012266121080097. .
- 34. Anikushyn A., Lyashko V., Samosonok O. Optimal control of the systems governed by linear hyperbolic integro-differential equations. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. Series: Physics and Mathematics. 2024. Vol. 78, Iss. 1. P. 111–118. ttps://doi.org/ 10.17721/1812-5409.2024/1.22. .
- 35. Anikushyn A., Hulianytskyi A. Generalized solvability of parabolic integro-differential equations. Differential Equations. 2014. Vol. 50, Iss. 1. P. 98–109. URL: https://doi.org/10.3842/nosc.v27i1.1444. .
- 36. Анікушин А., Андарал А. Узагальнене оптимальне керування псевдопараболічними інтегро-диференціальними системами. Нелінійні коливання. 2024. Т. 27, № 1. С. 3–18. https://doi.org/10.3842/nosc.v27i1.1444. .
- 37. Anikushyn A. Generalized optimal control for systems described by linear integro-differential equations with nonnegative definite integral operators. Journal of Automation and Information Science. 2014. Vol. 46, Iss. 6. P. 58–67. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v46.i6.60. .