УДК 512.61:519.61
ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ ЗВАЖЕНИХ ПСЕВДООБЕРНЕНИХ
МАТРИЦЬ
ЗІ ЗМІШАНИМИ ВАГАМИ
Анотація. Отримано і досліджено розвинення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами
(одна вагова матриця додатно-означена, а інша — невироджена знаконевизначена) в матричні степеневі ряди
з до-датними показниками степенів. На основі таких розвинень побудовано і вивчено ітераційні методи
для обчислення зважених псевдообернених мат-риць зі змішаними вагами. Розглянуто різні варіанти зважених
псевдообер-нених матриць зі змішаними невиродженими вагами і побудовано їхні роз-винення в матричні степеневі ряди.
Ключові слова: зважені псевдообернені матриці з індефінітними і змішани-ми вагами, матричні степеневі ряди, ітераційні методи.
ПОВНИЙ ТЕКСТ
Варенюк Наталия Анатольевна,
кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев,
nvareniuk@ukr.net
Галба Евгений Федорович,
доктор физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев
Сергиенко Иван Васильевич,
академик НАН Украины, доктор физ.-мат. наук, профессор, директор Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев,
incyb@incyb.kiev.ua
Тукалевская Нелля Ивановна,
кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украини, Киев,
Tukalevska@nas.gov.ua
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
- Chipman J.S. On least squares with insufficient observation. J. Amer.Statist. Assoc. 1964. Vol. 59, N 308. P. 1078–1111.
- Milne R.D. An oblique matrix pseudoinverse. SIAM J. Appl. Math. 1968. Vol. 16, N 5. P. 931–944.
- Ward J.F., Boullion T.L., Lewis T.O. A note on the oblique matrix pseudoinverse. SIAM J. Appl. Math. 1971. Vol. 20, N 2. P. 173–175.
- Ward J.F., Boullion T.L., Lewis T.O. Weighted pseudoinverses with singular weights. SIAM J. Appl. Math. 1971. Vol. 21, N 3. P. 480–482.
- Галба Е.Ф., Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Взвешенные псевдообратные матрицы и взвешенные нормальные псевдорешения с вырожденными весами. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49, № 8. С. 1347–1363.
- Сергиенко И.В., Галба Е.Ф., Дейнека В.С. Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами. Укр. мат. журн. 2011. Т. 63, № 1. С. 80–101.
- Сергиенко И.В., Галба Е.Ф., Дейнека В.С. Теоремы существования и единственности в теории взвешенной псевдоинверсии с вырожденными весами. Кибернетика и системный анализ. 2011. Т. 47, № 1. С. 14–33.
- Сергиенко И.В., Галба Е.Ф. Взвешенная псевдоинверсия с вырожденными весами. Кибернетика и системный анализ. 2016. Т. 52, № 5. С. 56–80.
- Галба Е.Ф., Сергиенко И.В. Методы вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами. Кибернетика и системный анализ. 2018. Т. 54, № 3. С. 65–93.
- Mitra S.K., Rao C.R. Projections under seminorms and generalized Moore–Penroze inverses. Linear Algebra and Appl. 1974. N 9. P. 155–167.
- Rao C.R., Mitra S.K. Generalized inverse of matrices and its applications. New York: Wiley, 1971. 240 p.
- Варенюк Н.А., Галба Е.Ф., Сергиенко И.В., Химич А.Н. Взвешенная псевдоинверсия с индефинитными весами. Укр. мат. журн. 2018. Т. 70, № 6. С. 752–772.
- Галба Е.Ф., Варенюк Н.А. Представление взвешенных псевдообратных матриц со смешанными весами через другие псевдообратные матрицы. Кибернетика и системный анализ. 2018. Т. 54, № 2. С. 17–25.
- Галба Е.Ф., Варенюк Н.А. Разложение взвешенных псевдообратных матриц со смешанными весами в матричные степенные ряды и произведения. Кибернетика и системный анализ. 2019. Т. 55, № 5. С. 67–80.
- Варенюк Н.А., Галба Є.Ф., Сергієнко І.В., Тукалевська Н.І. Ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць зі змішаними вагами на основі їх розвинення у матричні степеневі ряди. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 8. С. 19–25.
- Понтрягин Л.С. Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой. Известия АН СССР. Cер. матем. 1944. Т. 8. C. 243–280.
- Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. Москва; Ленинград: Гостехиздат, 1948.
- Bognar J. Indefinite inner product spaces. Berlin; Heidelberg; New York: Springer Verlag, 1974.
- Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Matrices and indefinite scalar products. Basel; Boston; Stuttgart: Birkhauser, 1983.
- Azizov T.Ya., Iohvidov I.S. Linear operators in spaces with an indefinite metric. Chichester: John Wiley and Sons, Ltd., 1989.
- Lancaster P., Rozsa P. Eigenvectors of H-self-adjoint matrices. Z. angew. Math. und Mech. 1984. Vol. 64, N 9. Р. 439–441.
- Икрамов Х.Д. Об алгебраических свойствах классов псевдоперестановочных и -самосопряженных матриц. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, № 8. С. 155–169.
- Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. Москва: Наука. 1984. 319 с.
- Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. Москва: Мир, 1989. 656 с.
- Van Loan C.F. Generalizing the singular value decomposition. SIAM J. Numer. Anal. 1976. Vol. 13, N 1. P. 76–83.
- Wei Y., Wang D. Condition numbers and perturbation of the weighted Moore–Penrose inverse and weighted linear least squares problem. Appl. Math. Comput. 2003. Vol. 145. P. 45–58.
- Wei Y. A note on the sensitivity of the solution of the weighted linear least squares problem. Appl. Math. Comput. 2003. Vol. 145. P. 481–485.
- Химич А.Н., Николаевская Е.А. Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными. Кибернетика и системный анализ. 2008. Т. 44, № 6. С. 83–95.
- Николаевская Е.А., Химич А.Н. Оценка погрешности взвешенного нормального псевдорешения с положительно-определенными весами. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49, № 3. С. 422–430.
- Химич А.Н. Оценки возмущений для решения задачи наименьших квадратов. Кибернетика и системный анализ. 1996. Т. 32, № 3. С. 142–145.
- Сергиенко И.В., Галба Е.Ф., Дейнека В.С. Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. І. Положительно-определенные веса. Кибернетика и системный анализ. 2008. Т. 44, № 1. С. 47–73.
- Сергиенко И.В., Галба Е.Ф., Дейнека В.С. Представления и разложения взвешенных псевдообратных матриц, итерационные методы и регуляризация задач. ІІ. Вырожденные веса. Кибернетика и системный анализ. 2008. Т. 44, № 3. С. 75–102.
- Химич А.Н., Попов А.В., Полянко В.В. Алгоритмы параллельных вычислений для задач линейной алгебры с матрицами нерегулярной структуры. Кибернетика и системный анализ. 2011. Т. 47, № 6. С. 159–174.